Question

limₓ→₀ (2√(x+1) - √(4 - x)) / x

Explanation:

Step1: Vérifier la forme indéterminée

En substituant \( x = 0 \) dans la fonction, on a :

$$ \frac{2\sqrt{0 + 1} - \sqrt{4 - 0}}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0} $$

Donc, on peut utiliser la règle de L'Hospital ou rationaliser la fonction. Ici, on rationalisera la fonction numérateur.

Step2: Rationaliser le numérateur

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur \( 2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} \) :

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step3: Simplifier et évaluer la limite

On peut simplifier \( x \) (pour \( x
eq 0 \)) :

$$ \lim_{x \to 0} \frac{5}{2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}} $$

Maintenant, substituer \( x = 0 \) :

$$ \frac{5}{2\sqrt{0 + 1} + \sqrt{4 - 0}} = \frac{5}{2 + 2} = \frac{5}{4} $$

Answer:

\(\frac{5}{4}\)