Question

log_{9}(2x)·log_{2}9 = 6

Explanation:

Step 1: Simplificar \(\log_{2}9\)

Sabemos que \(9 = 3^2\), entonces \(\log_{2}9=\log_{2}3^2 = 2\log_{2}3\) (por la propiedad \(\log_a b^n=n\log_a b\)). También, usando el cambio de base, \(\log_{9}(2x)=\frac{\log_{3}(2x)}{\log_{3}9}=\frac{\log_{3}(2x)}{2}\) (ya que \(\log_{3}9 = \log_{3}3^2 = 2\)). Pero también, podemos usar la propiedad de cambio de base entre \(\log_{9}\) y \(\log_{2}\). Recordemos que \(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\). Entonces, \(\log_{9}(2x)=\frac{\log_{2}(2x)}{\log_{2}9}\). Pero quizás sea más sencillo primero aislar \(\log_{9}(2x)\).

De la ecuación \(\log_{9}(2x)\cdot\log_{2}9 = 6\), podemos dividir ambos lados por \(\log_{2}9\) (suponiendo \(\log_{2}9
eq0\), lo cual es cierto porque \(9
eq1\)):

\(\log_{9}(2x)=\frac{6}{\log_{2}9}\)

Pero usando el cambio de base, \(\frac{1}{\log_{2}9}=\log_{9}2\) (por la propiedad \(\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\)). Entonces:

\(\log_{9}(2x)=6\log_{9}2\)

Usando la propiedad \(n\log_a b=\log_a b^n\), tenemos:

\(\log_{9}(2x)=\log_{9}2^6\)

\(\log_{9}(2x)=\log_{9}64\)

Step 2: Igualar los argumentos

Si \(\log_{a}m=\log_{a}n\), entonces \(m = n\) (para \(a>0,a
eq1\) y \(m,n>0\)). Entonces:

\(2x = 64\)

Step 3: Resolver para \(x\)

Dividir ambos lados por 2:

\(x=\frac{64}{2}=32\)

Otra forma más sencilla:

Step 1: Usar la propiedad de logaritmos \(\log_{a}b\cdot\log_{b}a = 1\) (cambio de base)

Pero aquí tenemos \(\log_{9}(2x)\cdot\log_{2}9\). Notemos que \(\log_{9}(2x)=\frac{\log_{2}(2x)}{\log_{2}9}\) (cambio de base de \(\log_{9}\) a \(\log_{2}\)). Entonces:

\(\frac{\log_{2}(2x)}{\log_{2}9}\cdot\log_{2}9=\log_{2}(2x)\)

Entonces la ecuación se convierte en:

\(\log_{2}(2x)=6\)

Step 2: Convertir a exponencial

Recordemos que \(\log_{a}b = c\) es equivalente a \(a^c = b\). Entonces, para \(\log_{2}(2x)=6\):

\(2^6=2x\)

\(64 = 2x\)

Step 3: Resolver para \(x\)

Dividir ambos lados por 2:

\(x = 32\)

Answer:

\(x = 32\)