Question

let $f(x) = x^2 + 1$ and $g(x) = x^4 - 1$.
find $\frac{f}{g}$ and state its domain.
a. $\frac{1}{x^2 - 1}$; the domain is the set of all real numbers
b. $\frac{1}{x^2 - 1}$; the domain is the set of all real numbers except 1 and -1
c. $\frac{x^2 + 1}{x^4 - 1}$; the domain is the set of all real numbers
d. $\frac{1}{x^4 - 1}$; the domain is the set of all real numbers except 1 and -1

Explanation:

Step1: Calcular \(\frac{f}{g}\)

La función \(\frac{f}{g}\) se define como \(\frac{f(x)}{g(x)}\). Dado \(f(x) = x^2 + 1\) y \(g(x) = x^4 - 1\), entonces:

$$ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2 + 1}{x^4 - 1} $$

Factorizamos el denominador \(x^4 - 1\) como una diferencia de cuadrados: \(x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\). Entonces:

$$ \frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)} $$

Cancelamos el factor común \(x^2 + 1\) (teniendo en cuenta que \(x^2 + 1
eq 0\) para todos los números reales \(x\), ya que \(x^2 \geq 0\), entonces \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\)):

$$ \frac{1}{x^2 - 1} $$

Step2: Determinar el dominio de \(\frac{f}{g}\)

El dominio de una función racional \(\frac{f}{g}\) es el conjunto de todos los números reales \(x\) para los cuales \(g(x)
eq 0\) y \(f(x)\) está definida. En este caso, \(f(x)\) es un polinomio, por lo que está definido para todos los números reales. Entonces, debemos encontrar los valores de \(x\) para los cuales \(g(x) = x^4 - 1
eq 0\). Pero también, al cancelar \(x^2 + 1\) en la fracción, debemos recordar que el factor cancelado \(x^2 + 1\) no afecta el dominio en términos de exclusión adicional (ya que \(x^2 + 1\) nunca es cero), pero el denominador resultante después de cancelar es \(x^2 - 1\), por lo que debemos asegurar que \(x^2 - 1
eq 0\) (ya que después de cancelar, la función es \(\frac{1}{x^2 - 1}\)). Resolviendo \(x^2 - 1 = 0\), tenemos \(x^2 = 1\), entonces \(x = 1\) o \(x = -1\). Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto \(x = 1\) y \(x = -1\).

Answer:

B. \(\frac{1}{x^2 - 1}\); the domain is the set of all real numbers except 1 and -1