Question

items 1 - 3 refer to the graph shown. 1. what is the midpoint of ab? 2. what is the length of ab? round your answer to the nearest hundredth. 3. what are the coordinates of the point 3/4 of the way from a to b? 4. select all the equations that represent the distance formula. a. d = √((x_1 - x_2)²+(y_1 - y_2)²) b. d = √((x_2 - x_1)²+(y_2 - y_1)²) c. d = √((x_2 + x_1)²+(y_2 + y_1)²) d. d = √((x_2 - x_1)²+|y_2 - y_1|²) e. d = √((x_2 + x_1)-(y_2 + y_1)) 5. what is an expression for the distance between the origin and a point? a. d = 0 b. d = √(x² + y²) c. d = √(x² - y²) d. d = √(y² - x²)

Explanation:

1. **Para encontrar el punto medio de un segmento de recta con extremos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), la fórmula del punto medio \(M\) es \(M(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})\). Sin embargo, como no se dan las coordenadas de \(A\) y \(B\) explícitamente en la pregunta, asumiremos que si \(A=(x_1,y_1)\) y \(B=(x_2,y_2)\), el punto medio tendría coordenadas que dependen de esas variables. Pero si suponemos que se nos da una forma de leerlas del gráfico (no visible en el texto pero en el gráfico), el proceso sigue siendo aplicar la fórmula. Sin embargo, dado que no se pueden leer las coordenadas, no se puede calcular un valor numérico. Pero la fórmula general para el punto medio es la indicada.
2. **Para encontrar la longitud del segmento \(AB\), la fórmula de la distancia entre dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\) es \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\). Nuevamente, sin las coordenadas de \(A\) y \(B\) no se puede calcular un valor numérico real, pero esta es la fórmula que se aplica.
3. **Para encontrar las coordenadas del punto \(\frac{3}{4}\) de la manera de \(A\) a \(B\), primero se encuentra el vector \(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\). Luego, las coordenadas del punto \(P\) que está a \(\frac{3}{4}\) de la manera de \(A\) a \(B\) se calculan como \(P=(x_1+\frac{3}{4}(x_2 - x_1),y_1+\frac{3}{4}(y_2 - y_1))=( \frac{4x_1+3x_2 - 3x_1}{4},\frac{4y_1+3y_2 - 3y_1}{4})=(\frac{x_1 + 3x_2}{4},\frac{y_1+3y_2}{4})\).
4. **La fórmula de la distancia entre dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\) es \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\). Las opciones correctas son aquellas que se derivan de esta fórmula.

• Opción A: \(d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}\) es correcta porque \((x_1 - x_2)^2=(x_2 - x_1)^2\) y \((y_1 - y_2)^2=(y_2 - y_1)^2\).
• Opción B: \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\) es la fórmula estándar, por lo que es correcta.
• Opción C: \(d=\sqrt{(x_2 + x_1)^2+(y_2 + y_1)^2}\) no es correcta, ya que no corresponde a la fórmula de la distancia entre dos puntos.
• Opción D: \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+|y_2 - y_1|^2}\), dado que \(|y_2 - y_1|^2=(y_2 - y_1)^2\) para cualquier \(y_1,y_2\in\mathbb{R}\), es correcta.
• Opción E: \(d=\sqrt{(x_2 + x_1)-(y_2 + y_1)}\) no es correcta, no es la fórmula de la distancia entre dos puntos.

1. **La distancia entre el origen \((0,0)\) y un punto \((x,y)\) se calcula usando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Si \(x_1 = 0,y_1 = 0\) y \(x_2=x,y_2 = y\), entonces \(d=\sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). La respuesta es B.

Step1: Recordar fórmulas básicas

Recordamos las fórmulas de punto medio, distancia entre dos puntos y punto intermedio en un segmento.

Step2: Analizar cada pregunta

Para cada pregunta, aplicamos las fórmulas correspondientes y evaluamos las opciones dadas.

Step3: Resolver la pregunta 4

Analizamos cada opción de la pregunta 4 en función de la fórmula de la distancia entre dos puntos \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\).

Step4: Resolver la pregunta 5

Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos con el origen \((0,0)\) y un punto \((x,y)\).

Answer:

1. Sin coordenadas de \(A\) y \(B\), no se puede calcular. Fórmula: \(M(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})\)
2. Sin coordenadas de \(A\) y \(B\), no se puede calcular. Fórmula: \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)
3. Fórmula: \(P=(\frac{x_1 + 3x_2}{4},\frac{y_1+3y_2}{4})\)
4. A. \(d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}\), B. \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\), D. \(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+|y_2 - y_1|^2}\)
5. B. \(d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)