Question

$\lim _ { x \
ightarrow 0 } \left( \frac { 1 + \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t } { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } - \frac { 1 } { \sin x } \
ight) =$

Explanation:

Step1: 等价无穷小替换

当\(x\to0\)时，\(e^{x}-1\sim x\)，\(\sin x\sim x\)，先对原式进行通分：

$$
LATEXBLOCK0
$$

将\(e^{x}-1\sim x\)，\(\sin x\sim x\)代入分母，得到：

$$ \lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)\sin x-(e^{x}-1)}{x\cdot x} $$

Step2: 展开分子并化简

将分子展开：

$$
LATEXBLOCK1
$$

当\(x\to0\)时，\(\sin x\sim x\)，\(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\)，\(\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt=\int_{0}^{x}(1 + t^{2}+o(t^{2}))dt=x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\)，\(\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\)。
将这些等价无穷小代入分子：

$$
LATEXBLOCK2
$$

Step3: 计算极限

将化简后的分子代入原式：

$$ \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=\lim_{x\to0}(\frac{1}{2}+\frac{o(x^{2})}{x^{2}}) $$

因为\(\lim_{x\to0}\frac{o(x^{2})}{x^{2}} = 0\)，所以极限值为\(\frac{1}{2}\)。

Answer:

\(\frac{1}{2}\)