Question

graph the following system of inequalities on the coordinate plane and shade the resulting solution region: \\(\

$$\begin{cases} y > 2x - 3 \\\\ y \\leq -x + 4 \\end{cases}$$

\\)

Explanation:

Step1: 绘制\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线，斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)。由于不等式是\(y > 2x - 3\)（不包含等号），所以边界线用虚线绘制。然后，选择一个测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 > 2(0) - 3\)，即\(0 > -3\)，成立。所以，阴影区域在边界线\(y = 2x - 3\)的上方。

Step2: 绘制\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线，斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)。由于不等式包含等号，所以边界线用实线绘制。选择测试点\((0,0)\)，代入不等式：\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，成立。所以，阴影区域在边界线\(y = -x + 4\)的下方（包括边界线）。

Step3: 确定解集区域

两个不等式的解集区域是同时满足\(y > 2x - 3\)和\(y \leq -x + 4\)的区域。即，在\(y = 2x - 3\)（虚线）上方且在\(y = -x + 4\)（实线）下方的区域，这两个区域的交集就是最终的解集区域，需要将该区域进行阴影填充。

图形描述（文字版）：

• 边界线\(y = 2x - 3\)：虚线，斜率为\(2\)，过点\((0, -3)\)和\((1, -1)\)等，上方阴影（满足\(y > 2x - 3\)）。
• 边界线\(y = -x + 4\)：实线，斜率为\(-1\)，过点\((0, 4)\)和\((4, 0)\)等，下方阴影（满足\(y \leq -x + 4\)）。
• 解集区域：两条线之间的重叠阴影部分，即在虚线\(y = 2x - 3\)上方且在实线\(y = -x + 4\)下方的区域。

（注：实际绘图时，先画出两条线，再分别确定阴影方向，最后标记出重叠的阴影区域即可。）

Answer:

Step1: 绘制\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线，斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)。由于不等式是\(y > 2x - 3\)（不包含等号），所以边界线用虚线绘制。然后，选择一个测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 > 2(0) - 3\)，即\(0 > -3\)，成立。所以，阴影区域在边界线\(y = 2x - 3\)的上方。

Step2: 绘制\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线，斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)。由于不等式包含等号，所以边界线用实线绘制。选择测试点\((0,0)\)，代入不等式：\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，成立。所以，阴影区域在边界线\(y = -x + 4\)的下方（包括边界线）。

Step3: 确定解集区域

两个不等式的解集区域是同时满足\(y > 2x - 3\)和\(y \leq -x + 4\)的区域。即，在\(y = 2x - 3\)（虚线）上方且在\(y = -x + 4\)（实线）下方的区域，这两个区域的交集就是最终的解集区域，需要将该区域进行阴影填充。

图形描述（文字版）：

• 边界线\(y = 2x - 3\)：虚线，斜率为\(2\)，过点\((0, -3)\)和\((1, -1)\)等，上方阴影（满足\(y > 2x - 3\)）。
• 边界线\(y = -x + 4\)：实线，斜率为\(-1\)，过点\((0, 4)\)和\((4, 0)\)等，下方阴影（满足\(y \leq -x + 4\)）。
• 解集区域：两条线之间的重叠阴影部分，即在虚线\(y = 2x - 3\)上方且在实线\(y = -x + 4\)下方的区域。

（注：实际绘图时，先画出两条线，再分别确定阴影方向，最后标记出重叠的阴影区域即可。）