Question

graph △abc with vertices a( - 4, - 3), b(0, - 2), and c(2, - 2) and and its image after a 90° clockwise rotation about point c.

Explanation:

Paso 1: Trasladar el punto de rotación al origen

Restamos las coordenadas del punto $C(2,-2)$ a las coordenadas de todos los puntos.
Para $A(-4,-3)$: $A'=(-4 - 2,-3+ 2)=(-6,-1)$
Para $B(0,-2)$: $B'=(0 - 2,-2 + 2)=(-2,0)$
Para $C(2,-2)$: $C'=(2 - 2,-2+ 2)=(0,0)$

Paso 2: Aplicar la matriz de rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj

La matriz de rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj es

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

.
Multiplicamos la matriz de rotación por los vectores de los puntos trasladados.
Para $A'(-6,-1)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}$$

Para $B'(-2,0)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$$

Para $C'(0,0)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

Paso 3: Trasladar los puntos de vuelta al lugar original

Sumamos las coordenadas del punto $C(2,-2)$ a los puntos rotados.
Para el nuevo $A$: $A''=(-1+2,6 - 2)=(1,4)$
Para el nuevo $B$: $B''=(0+2,2 - 2)=(2,0)$
Para el nuevo $C$: $C''=(0+2,0 - 2)=(2,-2)$

Respuesta:

Los vértices del triángulo $\triangle ABC$ original son $A(-4,-3)$, $B(0,-2)$ y $C(2,-2)$. Los vértices del triángulo $\triangle A'B'C'$ después de la rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto $C$ son $A'(1,4)$, $B'(2,0)$ y $C'(2,-2)$.

Answer:

Paso 1: Trasladar el punto de rotación al origen

Restamos las coordenadas del punto $C(2,-2)$ a las coordenadas de todos los puntos.
Para $A(-4,-3)$: $A'=(-4 - 2,-3+ 2)=(-6,-1)$
Para $B(0,-2)$: $B'=(0 - 2,-2 + 2)=(-2,0)$
Para $C(2,-2)$: $C'=(2 - 2,-2+ 2)=(0,0)$

Paso 2: Aplicar la matriz de rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj

La matriz de rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj es

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

.
Multiplicamos la matriz de rotación por los vectores de los puntos trasladados.
Para $A'(-6,-1)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}$$

Para $B'(-2,0)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$$

Para $C'(0,0)$:

$$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

Paso 3: Trasladar los puntos de vuelta al lugar original

Sumamos las coordenadas del punto $C(2,-2)$ a los puntos rotados.
Para el nuevo $A$: $A''=(-1+2,6 - 2)=(1,4)$
Para el nuevo $B$: $B''=(0+2,2 - 2)=(2,0)$
Para el nuevo $C$: $C''=(0+2,0 - 2)=(2,-2)$

Respuesta:

Los vértices del triángulo $\triangle ABC$ original son $A(-4,-3)$, $B(0,-2)$ y $C(2,-2)$. Los vértices del triángulo $\triangle A'B'C'$ después de la rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto $C$ son $A'(1,4)$, $B'(2,0)$ y $C'(2,-2)$.