Question

given the figure below, find the values of x and z.
(11x + 12)°
(10x + 21)°
z°
x =
z =

Explanation:

Step1: Identificar ángulos opuestos por el vértice

Ángulos opuestos por el vértice son iguales. Aquí, \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice? No, espero, en realidad, cuando dos líneas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Wait, no, en la figura, las dos ángulos \(11x + 12\) y \(10x + 21\) ¿son adyacentes o opuestos? Wait, no, cuando dos líneas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Pero en este caso, quizás \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos adyacentes que forman un ángulo recto? No, no, en realidad, cuando dos líneas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Wait, no, en la figura, los ángulos \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos? No, quizás son ángulos que forman un par de ángulos opuestos o suplementarios? Wait, no, en la figura, las dos líneas se intersectan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Wait, no, en realidad, cuando dos líneas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Entonces, si \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice, entonces \(11x + 12 = 10x + 21\)? No, eso no tiene sentido. Wait, no, quizás son ángulos adyacentes que suman 180 grados? No, no, en la figura, los ángulos \(11x + 12\) y \(z\) son opuestos? Wait, no, de nuevo, cuando dos líneas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Entonces, los ángulos \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos adyacentes que forman un ángulo recto? No, no, en realidad, en la figura, las dos líneas se cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Entonces, \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos? No, quizás son ángulos que son iguales? Wait, no, resolvamos:

Wait, en la figura, dos líneas se intersectan, formando cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Entonces, si \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice, entonces \(11x + 12 = 10x + 21\)? Resolviendo:

\(11x + 12 = 10x + 21\)

\(11x - 10x = 21 - 12\)

\(x = 9\)

Luego, \(z\) es igual a \(10x + 21\) o \(11x + 12\)? Wait, no, \(z\) es el ángulo opuesto a \(10x + 21\) o \(11x + 12\)? Wait, en la figura, \(z\) está en el ángulo opuesto a \(10x + 21\)? No, quizás \(z\) es igual a \(11x + 12\) o \(10x + 21\). Wait, si \(x = 9\), entonces \(11x + 12 = 11*9 + 12 = 99 + 12 = 111\), y \(10x + 21 = 10*9 + 21 = 90 + 21 = 111\). Oh, entonces \(11x + 12 = 10x + 21\) cuando \(x = 9\), lo que significa que son ángulos opuestos por el vértice, y por lo tanto iguales. Entonces, \(x = 9\). Luego, \(z\) es igual a \(11x + 12\) o \(10x + 21\)? Wait, no, \(z\) está en el ángulo adyacente a \(10x + 21\), entonces \(z + (10x + 21) = 180\)? No, no, si \(11x + 12 = 10x + 21 = 111\), entonces \(z\) es el ángulo opuesto a \(10x + 21\)? No, en realidad, cuando dos líneas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales, y los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180 grados). Entonces, \(z\) y \(10x + 21\) son ángulos adyacentes, entonces \(z + (10x + 21) = 180\). Pero si \(10x + 21 = 111\), entonces \(z = 180 - 111 = 69\)? Wait, no, eso no coincide. Wait, quizás me equivoqué. Wait, en la figura, \(z\) es el ángulo opuesto a \(11x + 12\)? No, quizás \(z\) es igual a \(10x + 21\) o \(11x + 12\). Wait, no, cuando dos líneas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales, y los ángulos adyacentes son suplementarios. Entonces, si \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice (iguales), entonces \(x = 9\), y \(z\) es el ángulo adyacente a \(11x + 12\), entonces \(z + (11x + 12) = 180\). Entonces, \(z = 180 - (11x + 12)\). Si \(x = 9\), entonces \(11x + 12 = 111\), entonces \(z = 180 - 111 = 69\). Wait, pero entonces \(z\) sería 69. Pero entonces, ¿por qué \(11x + 12 = 10x + 21\)? Porque son ángulos opuestos por el vértice, lo que es correcto cuando \(x = 9\). Entonces, \(x = 9\) y \(z = 69\)? Wait, no, quizás me equivoqué. Wait, de nuevo:

Step 1: Identificar que los ángulos \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales. Entonces:

\(11x + 12 = 10x + 21\)

Step 2: Resolver para \(x\):

\(11x - 10x = 21 - 12\)

\(x = 9\)

Step 3: Calcular el valor de \(11x + 12\) (o \(10x + 21\), ya que son iguales):

\(11(9) + 12 = 99 + 12 = 111\)

Step 4: \(z\) es un ángulo adyacente a \(11x + 12\), por lo tanto suman 180 grados (ya que forman un ángulo llano):

\(z + 111 = 180\)

\(z = 180 - 111 = 69\)

Wait, pero entonces \(z = 69\). Entonces, \(x = 9\) y \(z = 69\).

Step1: Establecer la ecuación para \(x\)

Los ángulos \(11x + 12\) y \(10x + 21\) son ángulos opuestos por el vértice, por lo que son iguales:
\(11x + 12 = 10x + 21\)

Step2: Resolver para \(x\)

Restar \(10x\) de ambos lados:
\(x + 12 = 21\)

Restar 12 de ambos lados:
\(x = 9\)

Step3: Calcular el valor de \(11x + 12\)

Sustituir \(x = 9\):
\(11(9) + 12 = 99 + 12 = 111\)

Step4: Calcular \(z\)

\(z\) y \(11x + 12\) son ángulos adyacentes que forman un ángulo llano (180°), por lo que:
\(z + 111 = 180\)

Restar 111 de ambos lados:
\(z = 180 - 111 = 69\)

Answer:

\(x = 9\), \(z = 69\)