Question

given: \\( \overline{rs} \\) bisects \\( \angle mrq \\); \\( \angle rms \cong \angle rqs \\)
which relationship in the diagram is true?
\\( \bigcirc \triangle mnr \cong \triangle mns \\) by asa
\\( \bigcirc \triangle rms \cong \triangle rqs \\) by aas
\\( \bigcirc \triangle snq \cong \triangle snm \\) by sss
\\( \bigcirc \triangle qnr \cong \triangle mnr \\) by hl

Explanation:

Step1: Analizar la bisectriz

Como \( \overline{RS} \) bisecta \( \angle MRQ \), entonces \( \angle MRN=\angle QRN \).

Step2: Considerar el triángulo \( \triangle RMS \) y \( \triangle RQS \)

Tenemos \( \angle RMS\cong\angle RQS \) (dado), \( \angle MRN=\angle QRN \) (por bisectriz) y \( \overline{RN}=\overline{RN} \) (lado común). Pero para \( \triangle RMS \) y \( \triangle RQS \), tenemos dos ángulos y un lado no comprendido.

Step3: Aplicar el criterio AAS

El criterio AAS (Ángulo - Ángulo - Lado) establece que si dos ángulos y un lado no comprendido de un triángulo son congruentes a dos ángulos y un lado no comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. En \( \triangle RMS \) y \( \triangle RQS \), \( \angle RMS\cong\angle RQS \), \( \angle MRN=\angle QRN \) y \( \overline{RS}=\overline{RS} \) (lado común no comprendido entre los ángulos dados).

Answer:

\( \triangle RMS\cong\triangle RQS \) by AAS.