Question

1. the function (f) is not differentiable at (x = 5). which of the following statements must be true?

(a) (f) is not continuous at (x = 5).

(b) (\lim_{x \to 5} f(x)) does not exist.

(c) (\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}) does not exist.

(d) (\int_{0}^{5} f(x) \\, dx) does not exist.

Explanation:

理解可导性的定义

根据导数的定义，函数 \(f\) 在 \(x = 5\) 处可导，当且仅当以下极限存在且为一个有限的实数：

$$ \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} $$

如果该极限不存在，则说明函数 \(f\) 在 \(x = 5\) 处不可导。

分析题目条件

题目中明确指出：函数 \(f\) 在 \(x = 5\) 处不可导（not differentiable）。
根据可导的定义，不可导直接等价于上述导数定义中的极限不存在。
因此，极限 \(\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}\) 必然不存在。这与选项 (C) 完全吻合。

排除其他选项

我们来分析为什么其他选项不一定为真：

• 选项 (A)：不可导不代表不连续。例如绝对值函数 \(f(x) = |x-5|\) 在 \(x=5\) 处连续但不可导。因此 (A) 不一定为真。
• 选项 (B)：如果函数在 \(x=5\) 处连续（如 \(f(x) = |x-5|\)），则极限 \(\lim_{x \to 5} f(x) = f(5)\) 是存在的。因此 (B) 不一定为真。
• 选项 (D)：一个函数在单点不可导，甚至在单点不连续，其定积分 \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx\) 仍然可能存在。例如 \(f(x) = |x-5|\) 在 \([0, 5]\) 上可积。因此 (D) 不一定为真。

Answer:

• (A) \(f\) is not continuous at \(x = 5\).
• (B) \(\lim_{x \to 5} f(x)\) does not exist.
• (C) \(\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}\) does not exist. (Correct answer)
• (D) \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx\) does not exist.