Question

the first figure of the sierpinski triangle has one shaded triangle. the second figure of the sierpinski triangle has three shaded triangles. the third figure of the sierpinski triangle has nine shaded triangles. which summation represents the total number of shaded triangles in the first 15 figures?

sum_{n = 1}^{15}1(3)^{n - 1}

sum_{n = 1}^{15}\frac{1}{3}(1)^{n - 1}

sum_{n = 1}^{15}3(1)^{n - 1}

sum_{n = 1}^{15}1left(\frac{1}{3}
ight)^{n - 1}

Explanation:

Step1: Identificar la secuencia geométrica

La secuencia de triángulos sombreados es \(1,3,9,\cdots\). La fórmula general de una secuencia geométrica es \(a_n=a_1r^{n - 1}\), donde \(a_1\) es el primer término y \(r\) es la razón. Aquí, \(a_1 = 1\) y \(r=3\).

Step2: Escribir la suma de la serie geométrica

La suma de los primeros \(n\) términos de una serie geométrica se escribe como \(\sum_{k = 1}^{n}a_1r^{k-1}\). Dado que \(n = 15\), \(a_1=1\) y \(r = 3\), la suma es \(\sum_{n=1}^{15}1(3)^{n - 1}\).

Answer:

\(\sum_{n=1}^{15}1(3)^{n - 1}\) (primera opción)