Question

in the figure above, $mn = 15$. what is the area of triangle $pqn$?
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12

Explanation:

Step1: 求三角形MLN的面积和底LN

首先，三角形MLN是直角三角形，直角边ML = 12，斜边MN = 15。根据勾股定理，可求出LN的长度。勾股定理公式为\(a^2 + b^2 = c^2\)（其中\(c\)为斜边，\(a\)、\(b\)为直角边），这里\(ML = 12\)，\(MN = 15\)，设\(LN = x\)，则\(x^2 + 12^2 = 15^2\)，即\(x^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81\)，所以\(x = 9\)，即\(LN = 9\)。同时，三角形MLN的面积为\(\frac{1}{2} \times ML \times LN = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54\)。

Step2: 证明三角形MLN和三角形PQN相似

因为\(\angle L = \angle P = 90^\circ\)，\(\angle N\)是公共角，所以根据两角对应相等的两个三角形相似，可得\(\triangle MLN \sim \triangle PQN\)。

Step3: 根据相似三角形的性质求三角形PQN的面积

相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似比为对应边的比，即\(\frac{PQ}{ML} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)，所以面积比为\((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)？不对，这里可能出错了，重新看，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比是对应高（或对应边）的比，这里\(PQ\)和\(ML\)是对应直角边，所以相似比是\(\frac{PQ}{ML} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)，那么面积比应该是\((\frac{1}{3})^2\)吗？不，不对，因为三角形MLN的面积是\(\frac{1}{2} \times ML \times LN\)，三角形PQN的面积是\(\frac{1}{2} \times PQ \times PN\)，而因为相似，\(\frac{PN}{LN} = \frac{PQ}{ML} = \frac{1}{3}\)，所以\(PN = \frac{1}{3}LN = \frac{1}{3} \times 9 = 3\)？不对，重新来，或者用面积比的另一种方法，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比是\(\frac{PQ}{ML} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)，所以三角形PQN的面积与三角形MLN的面积比是\((\frac{1}{3})^2\)吗？不，不对，因为三角形MLN的面积是\(\frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54\)，如果相似比是\(\frac{PQ}{ML} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)，那么面积比应该是\((\frac{1}{3})^2\)吗？不对，其实相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比是对应边的比，这里\(PQ\)和\(ML\)是对应边，所以相似比是\(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)，所以面积比是\((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)，那么三角形PQN的面积是\(54 \times \frac{1}{9} = 6\)？或者用另一种方法，先求PN的长度，因为相似，\(\frac{PN}{LN} = \frac{PQ}{ML}\)，即\(\frac{PN}{9} = \frac{4}{12}\)，所以\(PN = \frac{4 \times 9}{12} = 3\)，然后三角形PQN的面积是\(\frac{1}{2} \times PQ \times PN = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\)。

Answer:

B) 6