Question

exercice 52
on considère les réels suivants ( a = 5 + 2sqrt{6} ) et ( b = 5 - 2sqrt{6} )

1. montrer que ( ab = 1 ). que peut - on dire de ( a ) et ( b )?
2. calculer ( a^2 ); ( b^2 ) et ( \frac{a}{b} ).
3. montrer que ( a^2 + b^2 ) est un entier relatif.
4. etudier le signe de ( a ) et ( b ).
5. soit ( x = sqrt{49 - 20sqrt{6}} ) et ( y = sqrt{49 + 20sqrt{6}} ). ecrire ( x ) et ( y ) avec un seul radical.

exercice 53

Explanation:

Question 1: Montrer que \( ab = 1 \)

Step 1: Substituer \( a \) et \( b \)

On a \( a = 5 + 2\sqrt{6} \) et \( b = 5 - 2\sqrt{6} \). Utilisons la formule \( (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \).
Donc, \( ab=(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) \)

Step 2: Appliquer la formule

\( ab = 5^2-(2\sqrt{6})^2=25 - 4\times6=25 - 24 = 1 \)

Step 1: Utiliser la formule \( (x + y)^2=x^2 + 2xy + y^2 \)

\( a = 5 + 2\sqrt{6} \), donc \( a^2=(5 + 2\sqrt{6})^2=5^2+2\times5\times2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^2 \)

Step 2: Calculer chaque terme

\( 5^2 = 25 \), \( 2\times5\times2\sqrt{6}=20\sqrt{6} \), \( (2\sqrt{6})^2 = 4\times6 = 24 \)
Donc, \( a^2=25 + 20\sqrt{6}+24=49 + 20\sqrt{6} \)

Step 1: Utiliser la formule \( (x - y)^2=x^2 - 2xy + y^2 \)

\( b = 5 - 2\sqrt{6} \), donc \( b^2=(5 - 2\sqrt{6})^2=5^2-2\times5\times2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^2 \)

Step 2: Calculer chaque terme

\( 5^2 = 25 \), \( - 2\times5\times2\sqrt{6}=-20\sqrt{6} \), \( (2\sqrt{6})^2 = 4\times6 = 24 \)
Donc, \( b^2=25 - 20\sqrt{6}+24=49 - 20\sqrt{6} \)

Answer:

On a montré que \( ab = 1 \). Ainsi, \( a \) et \( b \) sont réciproques l'un de l'autre.

Question 2: Calculer \( a^2 \), \( b^2 \) et \( \frac{a}{b} \)

Calcul de \( a^2 \)