Question

exercice 39
rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :
e
$\frac{9}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{-2}{3\sqrt{2}}$, $\frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{2\sqrt{2}-3}$, $\frac{1}{-2+\sqrt{3}}$, $\frac{-3}{-5-\sqrt{2}}$, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$, $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-2}$, $\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $\frac{6-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}-7}$,
1
$\frac{\sqrt{7}+5}{2\sqrt{7}}$, $\frac{2-3\sqrt{2}}{2+3\sqrt{2}}$, $\frac{5\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+9}$, $\frac{1+2\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$, $\frac{5-7\sqrt{5}}{3+2\sqrt{5}}$, $\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{1}{1-\sqrt{2}}$, $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
d

Explanation:

Step1: Traiter $\frac{9}{\sqrt{2}}$

Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$ :
$\frac{9 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

Step2: Traiter $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Multiplier par $\sqrt{3}$ le numérateur et le dénominateur :
$\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step3: Traiter $\frac{-2}{3\sqrt{2}}$

Multiplier par $\sqrt{2}$ le numérateur et le dénominateur :
$\frac{-2 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{- \sqrt{2}}{3}$

Step4: Traiter $\frac{5 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Multiplier par $\sqrt{3}$ le numérateur et le dénominateur :
$\frac{(5 - \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3} - 3}{3}$

Step5: Traiter $\frac{1}{2\sqrt{2} - 3}$

Multiplier par le conjugué $2\sqrt{2} + 3$ du dénominateur :
$\frac{1 \times (2\sqrt{2} + 3)}{(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3)} = \frac{2\sqrt{2} + 3}{(2\sqrt{2})^2 - 3^2} = \frac{2\sqrt{2} + 3}{8 - 9} = \frac{2\sqrt{2} + 3}{-1} = -2\sqrt{2} - 3$

Step6: Traiter $\frac{1}{-2 + \sqrt{3}}$

Multiplier par le conjugué $-2 - \sqrt{3}$ du dénominateur :
$\frac{1 \times (-2 - \sqrt{3})}{(-2 + \sqrt{3})(-2 - \sqrt{3})} = \frac{-2 - \sqrt{3}}{(-2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{-2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = -2 - \sqrt{3}$

Step7: Traiter $\frac{-3}{-5 - \sqrt{2}}$

Simplifier d'abord le signe : $\frac{3}{5 + \sqrt{2}}$, puis multiplier par le conjugué $5 - \sqrt{2}$ :
$\frac{3 \times (5 - \sqrt{2})}{(5 + \sqrt{2})(5 - \sqrt{2})} = \frac{15 - 3\sqrt{2}}{25 - 2} = \frac{15 - 3\sqrt{2}}{23}$

Step8: Traiter $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{3} - 1$ :
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

Step9: Traiter $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 2}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{5} + 2$ :
$\frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + \sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{1} = 7 + 3\sqrt{5}$

Step10: Traiter $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ :
$\frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{2 - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-1} = -2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

Step11: Traiter $\frac{6 - 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 7}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{2} + 7$ :
$\frac{(6 - 4\sqrt{3})(\sqrt{2} + 7)}{(\sqrt{2} - 7)(\sqrt{2} + 7)} = \frac{6\sqrt{2} + 42 - 4\sqrt{6} - 28\sqrt{3}}{2 - 49} = \frac{6\sqrt{2} + 42 - 4\sqrt{6} - 28\sqrt{3}}{-47} = \frac{-6\sqrt{2} - 42 + 4\sqrt{6} + 28\sqrt{3}}{47}$

Step12: Traiter $\frac{\sqrt{7} + 5}{2\sqrt{7}}$

Multiplier par $\sqrt{7}$ le numérateur et le dénominateur :
$\frac{(\sqrt{7} + 5)\sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{7 + 5\sqrt{7}}{2 \times 7} = \frac{7 + 5\sqrt{7}}{14}$

Step13: Traiter $\frac{2 - 3\sqrt{2}}{2 + 3\sqrt{2}}$

Multiplier par le conjugué $2 - 3\sqrt{2}$ :
$\frac{(2 - 3\sqrt{2})^2}{(2 + 3\sqrt{2})(2 - 3\sqrt{2})} = \frac{4 - 12\sqrt{2} + 18}{4 - 18} = \frac{22 - 12\sqrt{2}}{-14} = \frac{-11 + 6\sqrt{2}}{7}$

Step14: Traiter $\frac{5\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 9}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{3} - 9$ :
$\frac{(5\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 9)}{(\sqrt{3} + 9)(\sqrt{3} - 9)} = \frac{15 - 45\sqrt{3} - \sqrt{3} + 9}{3 - 81} = \frac{24 - 46\sqrt{3}}{-78} = \frac{-12 + 23\sqrt{3}}{39}$

Step15: Traiter $\frac{1 + 2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}$

Multiplier par le conjugué $3 + \sqrt{2}$ :
$\frac{(1 + 2\sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4}{9 - 2} = \frac{7 + 7\sqrt{2}}{7} = 1 + \sqrt{2}$

Step16: Traiter $\frac{5 - 7\sqrt{5}}{3 + 2\sqrt{5}}$

Multiplier par le conjugué $3 - 2\sqrt{5}$ :
$\frac{(5 - 7\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})}{(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})} = \frac{15 - 10\sqrt{5} - 21\sqrt{5} + 70}{9 - 20} = \frac{85 - 31\sqrt{5}}{-11} = \frac{-85 + 31\sqrt{5}}{11}$

Step17: Traiter $\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{1}{1 - \sqrt{2}}$

Rationaliser chaque terme :
- $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
- $\frac{1}{1 - \sqrt{2}}$ multiplier par $1 + \sqrt{2}$ : $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = -1 - \sqrt{2}$
Puis additionner : $\sqrt{2} + (-1 - \sqrt{2}) = -1$

Step18: Traiter $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

Multiplier par le conjugué $\sqrt{3} + 1$ :
$\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

Answer:

Les dénominateurs rationnalisés sont respectivement :
$\frac{9\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{- \sqrt{2}}{3}$, $\frac{5\sqrt{3} - 3}{3}$, $-2\sqrt{2} - 3$, $-2 - \sqrt{3}$, $\frac{15 - 3\sqrt{2}}{23}$, $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$, $7 + 3\sqrt{5}$, $-2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$, $\frac{-6\sqrt{2} - 42 + 4\sqrt{6} + 28\sqrt{3}}{47}$, $\frac{7 + 5\sqrt{7}}{14}$, $\frac{-11 + 6\sqrt{2}}{7}$, $\frac{-12 + 23\sqrt{3}}{39}$, $1 + \sqrt{2}$, $\frac{-85 + 31\sqrt{5}}{11}$, $-1$, $2 + \sqrt{3}$