Question

en los siguientes triángulos rectángulos, hallar las longitudes exactas de los lados c y h.
de ser necesario, escribir las respuestas en forma radical simplificada.

Explanation:

Step1: Hallar \( c \)

En un triángulo rectángulo \( 45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ} \), los catetos son iguales y la hipotenusa \( h = c\sqrt{2} \). Aquí, la hipotenusa es \( 6 \), entonces \( c=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \).

Step2: Hallar \( h \)

En un triángulo rectángulo \( 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} \), el cateto opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \) es la mitad de la hipotenusa. La hipotenusa es \( 2 \), entonces el cateto opuesto a \( 30^{\circ} \) (que es \( h \)) se calcula usando la relación \( \sin(30^{\circ})=\frac{h}{2} \). Pero también, en un triángulo \( 30 - 60-90 \), si la hipotenusa \( = 2 \), el cateto opuesto a \( 60^{\circ} \) (el otro cateto) se calcula con \( \cos(60^{\circ})=\frac{h}{2} \), \( h = 2\times\cos(60^{\circ})=2\times\frac{1}{2} = 1 \).

Answer:

\( c = 3\sqrt{2} \)
\( h = 1 \)