Question

darius is studying the relationship between mathematics and art. he asks friends to each draw a \typical\ rectangle. he measures the length and width in centimeters of each rectangle and plots the points on a graph, where ( x ) represents the width and ( y ) represents the length. the points representing the rectangles are ( (6.1, 12.0) ), ( (5.0, 8.1) ), ( (9.1, 15.2) ), ( (6.5, 10.2) ), ( (7.4, 11.3) ) and ( (10.9, 17.5) ). which equation could darius use to determine the length, in centimeters, of a \typical\ rectangle for a given width in centimeters? ( y = 0.959x + 0.041 ) ( y = 0.605x + 0.004 ) ( y = 1.518x + 0.995 ) ( y = 1.967x + 0.984 )

Explanation:

Step1: Calcular la pendiente aproximada

Tomar dos puntos, por ejemplo \((6.1,12.0)\) y \((5.0,8.1)\). La fórmula de la pendiente \(m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Entonces \(m=\frac{12.0 - 8.1}{6.1 - 5.0}=\frac{3.9}{1.1}\approx3.545\) (esta es una forma de verificar, pero también se puede calcular la media de las pendientes entre varios pares de puntos). Otra forma es calcular \(m\) para varios pares:

• Entre \((6.1,12.0)\) y \((9.1,15.2)\): \(m_1=\frac{15.2 - 12.0}{9.1 - 6.1}=\frac{3.2}{3}\approx1.067\)
• Entre \((6.5,10.2)\) y \((7.4,11.3)\): \(m_2=\frac{11.3 - 10.2}{7.4 - 6.5}=\frac{1.1}{0.9}\approx1.222\)
• Entre \((10.9,17.5)\) y \((7.4,11.3)\): \(m_3=\frac{17.5 - 11.3}{10.9 - 7.4}=\frac{6.2}{3.5}\approx1.771\)

La media de estas pendientes \(m=\frac{1.067 + 1.222+1.771}{3}=\frac{4.06}{3}\approx1.353\). Pero también se puede usar el método de sustitución de valores en las ecuaciones dadas.

Step2: Sustituir valores en las ecuaciones

Tomar el punto \((6.1,12.0)\)

• Para \(y = 0.959x+0.041\): \(y=0.959\times6.1 + 0.041=5.85 + 0.041 = 5.891

eq12.0\)

• Para \(y = 0.605x+0.004\): \(y=0.605\times6.1+0.004 = 3.69 + 0.004=3.694

eq12.0\)

• Para \(y = 1.518x+0.995\): \(y=1.518\times6.1+0.995=9.26 + 0.995 = 10.255\) (cerca, pero sigamos probando)
• Tomar el punto \((10.9,17.5)\)
• \(y = 1.518\times10.9+0.995=16.55 + 0.995=17.545\approx17.5\)
• Tomar el punto \((5.0,8.1)\): \(y = 1.518\times5.0+0.995=7.59+0.995 = 8.585\approx8.1\) (considerando que es una ecuación de tendencia lineal, estos valores son los más cercanos entre las opciones dadas)
• Para \(y = 1.967x+0.984\), tomando \((6.1,12.0)\): \(y=1.967\times6.1+0.984=12.0 + 0.984=12.984

eq12.0\)

Answer:

\(y = 1.518x+0.995\)