Question

dans chacune des situations, représentez dans le plan cartésien l’ensemble-solution du système d’inéquations.
a) ( y < -6x + 12 )
b) ( y < -\frac{3}{4}x + 16 )
c) ( 4x + 9y + 18 leq 0 )
d) ( 7x + 8y leq 40 )
étape 2 mathématiques cst sec 5 + année scolaire 2025-2026

Answer:

Pour représenter l’ensemble - solution d’un système d’inéquations dans un plan cartésien, on suit généralement ces étapes pour chaque inéquation :

Partie a : \( y < - 6x + 12 \)

Étape 1 : Tracer la droite de la fonction linéaire associée

La fonction associée est \( y=-6x + 12 \). C'est une droite. Pour trouver deux points sur cette droite :

• Lorsque \( x = 0 \), \( y=-6(0)+12=12 \). Donc, le point est \( (0,12) \).
• Lorsque \( y = 0 \), \( 0=-6x + 12\), en résolvant pour \( x \), on a \( 6x=12\) donc \( x = 2 \). Donc, le point est \( (2,0) \).

Puisque l’inéquation est \( y < - 6x+12 \) (le signe est « \( < \) » et non « \( \leq \) »), on trace une droite pointillée (pour indiquer que les points sur la droite ne font pas partie de la solution) en reliant les points \( (0,12) \) et \( (2,0) \).

Étape 2 : Déterminer la région de solution

On choisit un point de test qui n’est pas sur la droite, par exemple le point d’origine \( (0,0) \). On substitue \( x = 0 \) et \( y = 0 \) dans l’inéquation : \( 0<-6(0)+12\), soit \( 0 < 12 \), ce qui est vrai. Donc, la région de solution est la région qui contient le point \( (0,0) \), c’est - à - dire la région en dessous de la droite pointillée \( y=-6x + 12 \).

Partie b : \( y<-\frac{3}{4}x + 16 \)

Étape 1 : Tracer la droite de la fonction linéaire associée

La fonction associée est \( y =-\frac{3}{4}x+16 \). Pour trouver deux points sur cette droite :

• Lorsque \( x = 0 \), \( y=-\frac{3}{4}(0)+16 = 16 \). Donc, le point est \( (0,16) \).
• Lorsque \( y = 0 \), \( 0=-\frac{3}{4}x + 16\), en résolvant pour \( x \), on a \( \frac{3}{4}x=16\), donc \( x=\frac{16\times4}{3}=\frac{64}{3}\approx21.33 \). Donc, le point est \( (\frac{64}{3},0) \).

Puisque l’inéquation est \( y<-\frac{3}{4}x + 16 \) (signe « \( < \) »), on trace une droite pointillée en reliant les points \( (0,16) \) et \( (\frac{64}{3},0) \).

Étape 2 : Déterminer la région de solution

On choisit le point d’origine \( (0,0) \) comme point de test. En substituant \( x = 0 \) et \( y = 0 \) dans l’inéquation : \( 0<-\frac{3}{4}(0)+16\), soit \( 0 < 16 \), ce qui est vrai. Donc, la région de solution est la région en dessous de la droite pointillée \( y =-\frac{3}{4}x+16 \).

Partie c : \( 4x + 9y+18\leq0 \)

Étape 1 : Récécrire l’inéquation sous la forme \( y\leq\cdots \)

On isole \( y \) :

$$
LATEXBLOCK0
$$

Étape 2 : Tracer la droite de la fonction linéaire associée

La fonction associée est \( y=-\frac{4}{9}x - 2 \). Pour trouver deux points sur cette droite :

• Lorsque \( x = 0 \), \( y=-\frac{4}{9}(0)-2=-2 \). Donc, le point est \( (0,-2) \).
• Lorsque \( y = 0 \), \( 0=-\frac{4}{9}x-2\), en résolvant pour \( x \), on a \( \frac{4}{9}x=-2\), donc \( x=-\frac{2\times9}{4}=-\frac{9}{2}=-4.5 \). Donc, le point est \( (-4.5,0) \).

Puisque l’inéquation est \( y\leq-\frac{4}{9}x - 2 \) (signe « \( \leq \) »), on trace une droite continue (pour indiquer que les points sur la droite font partie de la solution) en reliant les points \( (0,-2) \) et \( (-4.5,0) \).

Étape 3 : Déterminer la région de solution

On choisit le point d’origine \( (0,0) \) comme point de test. En substituant \( x = 0 \) et \( y = 0 \) dans l’inéquation \( 4x + 9y+18\leq0 \) : \( 4(0)+9(0)+18=18\leq0 \)? Non, 18 n’est pas inférieur ou égal à 0. Donc, on prend la région opposée au point d’origine, c’est - à - dire la région en dessous de la droite continue \( y =-\frac{4}{9}x - 2 \) (car le test avec \( (0,0) \) a échoué).

Partie d : \( 7x + 8y\leq40 \)

Étape 1 : Récécrire l’inéquation sous la forme \( y\leq\cdots \)

On isole \( y \) :

$$
LATEXBLOCK1
$$

Étape 2 : Tracer la droite de la fonction linéaire associée

La fonction associée est \( y =-\frac{7}{8}x + 5 \). Pour trouver deux points sur cette droite :

• Lorsque \( x = 0 \), \( y=-\frac{7}{8}(0)+5 = 5 \). Donc, le point est \( (0,5) \).
• Lorsque \( y = 0 \), \( 0=-\frac{7}{8}x+5\), en résolvant pour \( x \), on a \( \frac{7}{8}x=5\), donc \( x=\frac{40}{7}\approx5.71 \). Donc, le point est \( (\frac{40}{7},0) \).

Puisque l’inéquation est \( y\leq-\frac{7}{8}x + 5 \) (signe « \( \leq \) »), on trace une droite continue en reliant les points \( (0,5) \) et \( (\frac{40}{7},0) \).

Étape 3 : Déterminer la région de solution

On choisit le point d’origine \( (0,0) \) comme point de test. En substituant \( x = 0 \) et \( y = 0 \) dans l’inéquation \( 7x + 8y\leq40 \) : \( 7(0)+8(0)=0\leq40 \), ce qui est vrai. Donc, la région de solution est la région en dessous de la droite continue \( y=-\frac{7}{8}x + 5 \).

Pour représenter l’ensemble - solution du système (ici, chaque partie est une seule inéquation, mais la méthode est la même pour un système avec plusieurs inéquations), on superpose les régions de solution de chaque inéquation.

Représentation graphique (en résumé)

• Pour a : Droite pointillée \( y=-6x + 12 \), région en dessous.
• Pour b : Droite pointillée \( y =-\frac{3}{4}x+16 \), région en dessous.
• Pour c : Droite continue \( y=-\frac{4}{9}x - 2 \), région en dessous (car le test avec \( (0,0) \) a échoué).
• Pour d : Droite continue \( y=-\frac{7}{8}x + 5 \), région en dessous (car le test avec \( (0,0) \) a réussi).

En traçant ces droites (pointillées ou continues) et en identifiant les régions de solution, on obtient l’ensemble - solution de chaque inéquation dans le plan cartésien.