Question

1. a_{cone}=180pi cm^{2}

6 cm
r

1. a_{cone}=8.58pi cm^{2}

r
54 cm
7 quelle est la mesure de lapothème dun cône droit dont le rayon mesure 5 cm et lair
total est de 56pi cm^{2}?

Explanation:

a) Pour le cône avec \( A_{\text{surface}} = 180\pi \, \text{cm}^2 \) et rayon \( r = 6 \, \text{cm} \)

Explication :

La surface totale d’un cône est donnée par \( A = \pi r^2 + \pi r l \), où \( l \) est la longueur du générateur.

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( r = 6 \, \text{cm} \), donc \( \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 2 : Isoler la partie conique latérale (\( \pi r l \))

La surface totale \( A = 180\pi \), donc la surface latérale \( A_{\text{latérale}} = A - \pi r^2 = 180\pi - 36\pi = 144\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \)

La surface latérale est \( \pi r l \), donc \( \pi \times 6 \times l = 144\pi \).
Diviser les deux côtés par \( 6\pi \) : \( l = \frac{144\pi}{6\pi} = 24 \, \text{cm} \).

b) Pour le cône avec \( A_{\text{surface}} = 615.8\pi \, \text{cm}^2 \) et rayon \( r = 14 \, \text{cm} \)

Explication :

On utilise toujours la formule de la surface totale d’un cône \( A = \pi r^2 + \pi r l \).

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( r = 14 \, \text{cm} \), donc \( \pi r^2 = \pi \times 14^2 = 196\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 2 : Isoler la surface latérale

\( A_{\text{latérale}} = A - \pi r^2 = 615.8\pi - 196\pi = 419.8\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \)

\( \pi r l = 419.8\pi \), donc \( 14\pi l = 419.8\pi \).
Diviser par \( 14\pi \) : \( l = \frac{419.8\pi}{14\pi} = 29.9857 \approx 30 \, \text{cm} \) (ou vérifier les calculs si \( 615.8 \) est une approximation, par exemple, \( 615.8 \approx 196 + 14 \times 29.9857 \)).

Question 7 : Apathème d’un cône droit (attention : l’apathème d’un cône n’est pas standard, mais si c’est la hauteur \( h \) ou le générateur \( l \) ? Attendu : surface totale d’un cône \( A = \pi r (r + l) \), mais le problème dit « apathème » (peut-être hauteur, mais en réalité, le cône a rayon \( r = 5 \, \text{dm} \), surface totale \( 50\pi \, \text{dm}^2 \)).

Explication :

Surface totale d’un cône : \( A = \pi r^2 + \pi r l \). On a \( r = 5 \, \text{dm} \), \( A = 50\pi \).

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( \pi \times 5^2 = 25\pi \).

Étape 2 : Isoler \( \pi r l \)

\( A_{\text{latérale}} = 50\pi - 25\pi = 25\pi \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \) (générateur, peut-être appelé apathème ici)

\( \pi \times 5 \times l = 25\pi \) → \( 5l = 25 \) → \( l = 5 \, \text{dm} \).

Réponses :

a) Longueur du générateur \( l = \boldsymbol{24 \, \text{cm}} \)
b) Longueur du générateur \( l \approx \boldsymbol{30 \, \text{cm}} \) (ou 29.99 cm)
Question 7 : Apathème (générateur) \( l = \boldsymbol{5 \, \text{dm}} \)

Answer:

a) Pour le cône avec \( A_{\text{surface}} = 180\pi \, \text{cm}^2 \) et rayon \( r = 6 \, \text{cm} \)

Explication :

La surface totale d’un cône est donnée par \( A = \pi r^2 + \pi r l \), où \( l \) est la longueur du générateur.

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( r = 6 \, \text{cm} \), donc \( \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 2 : Isoler la partie conique latérale (\( \pi r l \))

La surface totale \( A = 180\pi \), donc la surface latérale \( A_{\text{latérale}} = A - \pi r^2 = 180\pi - 36\pi = 144\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \)

La surface latérale est \( \pi r l \), donc \( \pi \times 6 \times l = 144\pi \).
Diviser les deux côtés par \( 6\pi \) : \( l = \frac{144\pi}{6\pi} = 24 \, \text{cm} \).

b) Pour le cône avec \( A_{\text{surface}} = 615.8\pi \, \text{cm}^2 \) et rayon \( r = 14 \, \text{cm} \)

Explication :

On utilise toujours la formule de la surface totale d’un cône \( A = \pi r^2 + \pi r l \).

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( r = 14 \, \text{cm} \), donc \( \pi r^2 = \pi \times 14^2 = 196\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 2 : Isoler la surface latérale

\( A_{\text{latérale}} = A - \pi r^2 = 615.8\pi - 196\pi = 419.8\pi \, \text{cm}^2 \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \)

\( \pi r l = 419.8\pi \), donc \( 14\pi l = 419.8\pi \).
Diviser par \( 14\pi \) : \( l = \frac{419.8\pi}{14\pi} = 29.9857 \approx 30 \, \text{cm} \) (ou vérifier les calculs si \( 615.8 \) est une approximation, par exemple, \( 615.8 \approx 196 + 14 \times 29.9857 \)).

Question 7 : Apathème d’un cône droit (attention : l’apathème d’un cône n’est pas standard, mais si c’est la hauteur \( h \) ou le générateur \( l \) ? Attendu : surface totale d’un cône \( A = \pi r (r + l) \), mais le problème dit « apathème » (peut-être hauteur, mais en réalité, le cône a rayon \( r = 5 \, \text{dm} \), surface totale \( 50\pi \, \text{dm}^2 \)).

Explication :

Surface totale d’un cône : \( A = \pi r^2 + \pi r l \). On a \( r = 5 \, \text{dm} \), \( A = 50\pi \).

Étape 1 : Calculer \( \pi r^2 \)

\( \pi \times 5^2 = 25\pi \).

Étape 2 : Isoler \( \pi r l \)

\( A_{\text{latérale}} = 50\pi - 25\pi = 25\pi \).

Étape 3 : Résoudre pour \( l \) (générateur, peut-être appelé apathème ici)

\( \pi \times 5 \times l = 25\pi \) → \( 5l = 25 \) → \( l = 5 \, \text{dm} \).

Réponses :

a) Longueur du générateur \( l = \boldsymbol{24 \, \text{cm}} \)
b) Longueur du générateur \( l \approx \boldsymbol{30 \, \text{cm}} \) (ou 29.99 cm)
Question 7 : Apathème (générateur) \( l = \boldsymbol{5 \, \text{dm}} \)