Question

\\( \angle h \cong \angle i \\) and \\( \overline { h i } \perp \overline { g j } \\). complete the proof that \\( \overline { i j } \cong \overline { h j } \\).

Explanation:

Step1: Definición de perpendicularidad

Si \(\overline{HI}\perp\overline{GJ}\), entonces \(\angle GJH = 90^{\circ}\) y \(\angle GJI=90^{\circ}\). Por la definición de ángulo recto, dos ángulos rectos son congruentes. Entonces \(\angle GJH\cong\angle GJI\)

Step2: Criterio de congruencia de triángulos AAS

Tenemos \(\angle H\cong\angle I\) (dado), \(\angle GJH\cong\angle GJI\) (por perpendicularidad) y \(\overline{GJ}\cong\overline{GJ}\) (propiedad reflexiva de la congruencia). Entonces, por el criterio AAS (\(Ángulo - Ángulo - Lado\)), \(\triangle GHJ\cong\triangle GIJ\)

Step3: Corolario de triángulos congruentes

Si dos triángulos son congruentes, entonces sus lados correspondientes son congruentes. Como \(\triangle GHJ\cong\triangle GIJ\), entonces \(\overline{IJ}\cong\overline{HJ}\)

Answer:

\(\overline{IJ}\cong\overline{HJ}\)