Question

the circle below has center e. suppose that m\\(\overarc{fg} = 132^\circ\\) and that \\(\overline{fh}\\) is tangent to the circle at f. find the following. (a) \\(m\angle feg = \square^\circ\\) (b) \\(m\angle gfh = \square^\circ\\)

Explanation:

Step1: Encontrar \( m\angle FEG \)

El ángulo central \( \angle FEG \) intercepta el arco \( \overset{\frown}{FG} \). Por la definición de ángulo central, la medida del ángulo central es igual a la medida del arco que intercepta. Dado que \( m\overset{\frown}{FG} = 132^\circ \), entonces \( m\angle FEG = 132^\circ \).

Step2: Encontrar \( m\angle GFH \)

La recta \( FH \) es tangente al círculo en \( F \), por lo que \( EF \perp FH \) (la razón es que la tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto). Entonces \( \angle EFH = 90^\circ \).

El triángulo \( EFG \) es isósceles porque \( EF = EG \) (ambos son radios del círculo). Entonces \( \angle EFG = \angle EGF \). La suma de los ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \), así que:

\( \angle EFG + \angle EGF + \angle FEG = 180^\circ \)

Sustituyendo \( \angle FEG = 132^\circ \) y \( \angle EFG = \angle EGF \):

\( 2\angle EFG + 132^\circ = 180^\circ \)

Resolviendo para \( \angle EFG \):

\( 2\angle EFG = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \)

\( \angle EFG = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ \)

Ahora, \( \angle GFH = \angle EFH - \angle EFG \). Sabemos que \( \angle EFH = 90^\circ \) y \( \angle EFG = 24^\circ \), entonces:

\( \angle GFH = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ \)

Answer:

(a) \( m\angle FEG = \boldsymbol{132^\circ} \)
(b) \( m\angle GFH = \boldsymbol{66^\circ} \)