Question

tâche 3 : l’entraînement
jessica court sur le contour du terrain de soccer à tous les jours.
le terrain, dont les mesures sont exprimées en mètres, est de forme rectangulaire. voici une vue de haut du terrain en question.
image of rectangle with height 65, length 40 + n

• cinq tours complets représentent plus de 1695 m.
• l’aire du terrain est de moins de 6875 m².
• les dimensions du terrain sont des nombres entiers.

la table de valeur ci-dessous représente la relation entre le temps pris par jessica et la distance parcourue. jessica court toujours au même rythme.
distance (mètre) | temps (seconde)
45 | 12
255 | 68
315 | 84
à 16h, jessica entreprend 12 tours de terrain avant d’aller travailler. elle doit être à son travail pour 17h.
elle a besoin de 35 minutes pour se rendre au travail.
arrivera-t-elle à l’heure?

Explanation:

Step1: Trouver la vitesse de Jessica

La vitesse \( v \) est donnée par \( v=\frac{\text{distance}}{\text{temps}} \). En utilisant la première ligne du tableau (\( d = 45 \) m, \( t = 12 \) s) :
\( v=\frac{45}{12}=3.75 \) m/s.

Step2: Calculer le périmètre du terrain

D'abord, analyser les conditions sur le terrain rectangulaire :

• Hauteur \( h = 65 \) m, longueur \( b = 40 + n \) ( \( n \) entier, car dimensions sont entiers).
• Périmètre \( P = 2(h + b)=2(65 + 40 + n)=2(105 + n)=210 + 2n \).
• Cinq tours : \( 5P>1695 \) ⇒ \( P>\frac{1695}{5}=339 \) m.
• Aire \( A = h\times b = 65(40 + n)<6875 \) ⇒ \( 40 + n<\frac{6875}{65}=105 \) ⇒ \( n<65 \).
• De \( P = 210 + 2n>339 \) ⇒ \( 2n>129 \) ⇒ \( n\geq65 \) (car \( n \) entier). Mais \( n<65 \) et \( n\geq65 \) ⇒ \( n = 65 \)? Non, erreur. Attendez, \( \frac{6875}{65}=105 \), donc \( 40 + n<105 \) ⇒ \( n<65 \). Et \( P>339 \) ⇒ \( 210 + 2n>339 \) ⇒ \( 2n>129 \) ⇒ \( n\geq65 \) (car \( n \) entier). Contradiction? Non, peut - être j'ai mal. Attendez, \( 65\times105 = 6825<6875 \), \( 65\times106 = 6890>6875 \). Donc \( 40 + n\leq104 \) ⇒ \( n\leq64 \). Et \( P>339 \) ⇒ \( 2(65 + 40 + n)>339 \) ⇒ \( 105 + n>169.5 \) ⇒ \( n>64.5 \). Donc \( n = 65 \)? Non, \( n\leq64 \) et \( n>64.5 \)? Impossible. Attendez, peut - être la condition “cinq tours représentent plus de 1695 m” : \( 5P>1695 \) ⇒ \( P>339 \). \( P = 2(65 + b) \), \( b = 40 + n \), donc \( 2(65 + 40 + n)>339 \) ⇒ \( 105 + n>169.5 \) ⇒ \( n>64.5 \). Et aire \( 65(40 + n)<6875 \) ⇒ \( 40 + n<105 \) ⇒ \( n<65 \). Donc \( n = 65 \) n'est pas possible, mais \( n \) entier, donc \( n = 65 \) est exclu? Attendez, peut - être j'ai fait une erreur. Ou peut - être que le périmètre est calculé autrement. Attendez, la table de Jessica : vérifions la vitesse avec d'autres valeurs. \( \frac{255}{68}=3.75 \) m/s, \( \frac{315}{84}=3.75 \) m/s. Donc vitesse \( v = 3.75 \) m/s est correcte.

Maintenant, pour le terrain : \( h = 65 \) m, \( b = 40 + n \), \( n \) entier. \( 5P>1695 \) ⇒ \( P>339 \). \( P = 2(65 + b)=2(65 + 40 + n)=2(105 + n) \). Donc \( 2(105 + n)>339 \) ⇒ \( 105 + n>169.5 \) ⇒ \( n>64.5 \). \( A = 65(40 + n)<6875 \) ⇒ \( 40 + n<105 \) ⇒ \( n<65 \). Donc \( n = 65 \) n'est pas possible, mais \( n \) entier, donc \( n = 65 \) est exclu? Attendez, \( 65\times105 = 6825<6875 \), \( 65\times106 = 6890>6875 \). Donc \( 40 + n = 105 \) ⇒ \( n = 65 \) donne aire \( 6825<6875 \)? Oui, \( 65\times105 = 6825 \), qui est moins de 6875. Et \( P = 2(65 + 105)=340 \) m. \( 5\times340 = 1700>1695 \), ce qui correspond à la condition. Donc \( n = 65 \), \( b = 105 \) m, \( h = 65 \) m, \( P = 340 \) m.

Step3: Temps pour 12 tours

Distance pour 12 tours : \( D = 12\times P = 12\times340 = 4080 \) m.
Temps \( t=\frac{D}{v}=\frac{4080}{3.75}=1088 \) secondes.

Step4: Convertir le temps en minutes

\( 1088 \) secondes \(=\frac{1088}{60}\approx18.13 \) minutes.

Step5: Temps total (tours + trajet)

Temps total \( T = 18.13 + 35 = 53.13 \) minutes.

Step6: Vérifier si elle arrive à l'heure

De 16h à 17h, il y a 60 minutes. \( 53.13<60 \), donc elle arrive à l'heure.

Answer:

Oui, elle arrivera à l'heure.