Question

1. if z is the centroid of \\( \triangle lmn \\), \\( wz = 4 \\), \\( zn = 14 \\), and \\( zy = 10 \\), find each measure.

a) \\( zm = \\)
b) \\( wm = \\)
c) \\( xz = \\)
d) \\( xn = \\)
e) \\( lz = \\)

Explanation:

Step1: Propiedad del centroid

El centroid divide a cada mediana en una razón de \(2:1\).

Step2: Calcular \(ZM\)

Como \(ZY = 10\), y \(ZM=\frac{2}{3}MY\) pero también sabemos que \(ZY=\frac{1}{3}MY\) (por la propiedad del centroid). Entonces \(MY = 3ZY\). Pero si consideramos la mediana \(MY\) y el centroid \(Z\), \(ZM = 2ZY\). Dado \(ZY = 10\), entonces \(ZM=2\times10 = 20\).

Step3: Calcular \(WM\)

Como \(WZ = 4\), y \(WM=3WZ\) (por la propiedad del centroid, ya que \(WZ=\frac{1}{3}WM\)). Entonces \(WM = 3\times4=12\).

Step4: Calcular \(XZ\)

Como \(ZN = 14\), y \(XZ=\frac{1}{2}ZN\) (por la propiedad del centroid, ya que \(ZN = 2XZ\)). Entonces \(XZ=\frac{14}{2}=7\).

Step5: Calcular \(XN\)

\(XN=XZ + ZN\), \(XZ = 7\) y \(ZN = 14\), entonces \(XN=7 + 14=21\).

Step6: Calcular \(LZ\)

Como \(WZ = 4\), y \(LZ = 2WZ\) (por la propiedad del centroid). Entonces \(LZ=2\times4 = 8\).

Answer:

a) \(ZM = 20\)
b) \(WM = 12\)
c) \(XZ = 7\)
d) \(XN = 21\)
e) \(LZ = 8\)