Question

7.6 - additional practice
find the missing side. round to the nearest tenth.
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Explanation:

Step1: Analizar el triángulo 1 (problema 1)

Tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa \( 19 \) y ángulo \( 18^\circ \). El lado \( x \) es el cateto opuesto al ángulo \( 18^\circ \). Usamos la función seno: \( \sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \). Entonces \( \sin(18^\circ) = \frac{x}{19} \). Resolviendo para \( x \): \( x = 19 \times \sin(18^\circ) \). Calculamos \( \sin(18^\circ) \approx 0.3090 \), así que \( x \approx 19 \times 0.3090 \approx 5.9 \).

Step2: Analizar el triángulo 2 (problema 2)

Triángulo rectángulo con hipotenusa \( 18 \) y ángulo \( 60^\circ \). El lado \( x \) es el cateto adyacente al ángulo \( 60^\circ \). Usamos el coseno: \( \cos(60^\circ) = \frac{x}{18} \). Sabemos que \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), así que \( x = 18 \times 0.5 = 9.0 \).

Step3: Analizar el triángulo 3 (problema 3)

Triángulo rectángulo con hipotenusa \( 14 \) y ángulo \( 57^\circ \). El lado \( x \) es el cateto adyacente al ángulo \( 57^\circ \). Usamos el coseno: \( \cos(57^\circ) = \frac{x}{14} \). \( \cos(57^\circ) \approx 0.5446 \), así que \( x = 14 \times 0.5446 \approx 7.6 \).

Step4: Analizar el triángulo 4 (problema 4)

Triángulo rectángulo con cateto adyacente \( 15 \) y ángulo \( 47^\circ \). El lado \( x \) es el cateto opuesto. Usamos la tangente: \( \tan(47^\circ) = \frac{x}{15} \). \( \tan(47^\circ) \approx 1.0724 \), así que \( x = 15 \times 1.0724 \approx 16.1 \).

Step5: Analizar el triángulo 5 (problema 5)

Triángulo rectángulo con cateto adyacente \( 18 \) y ángulo \( 23^\circ \). El lado \( x \) es la hipotenusa. Usamos el coseno: \( \cos(23^\circ) = \frac{18}{x} \), así que \( x = \frac{18}{\cos(23^\circ)} \). \( \cos(23^\circ) \approx 0.9205 \), entonces \( x \approx \frac{18}{0.9205} \approx 19.6 \).

Step6: Analizar el triángulo 6 (problema 6)

Triángulo rectángulo con cateto adyacente \( 12 \) y ángulo \( 69^\circ \). El lado \( x \) es el cateto opuesto. Usamos la tangente: \( \tan(69^\circ) = \frac{x}{12} \). \( \tan(69^\circ) \approx 2.6051 \), así que \( x = 12 \times 2.6051 \approx 31.3 \).

Step7: Analizar el triángulo 7 (problema 7)

Triángulo rectángulo con cateto adyacente \( 19 \) y ángulo \( 51^\circ \). El lado \( x \) es el cateto opuesto. Usamos la tangente: \( \tan(51^\circ) = \frac{x}{19} \). \( \tan(51^\circ) \approx 1.2349 \), así que \( x = 19 \times 1.2349 \approx 23.5 \).

Step8: Analizar el triángulo 8 (problema 8)

Triángulo rectángulo con cateto adyacente \( 17 \) y ángulo \( 41^\circ \). El lado \( x \) es la hipotenusa. Usamos el coseno: \( \cos(41^\circ) = \frac{17}{x} \), así que \( x = \frac{17}{\cos(41^\circ)} \). \( \cos(41^\circ) \approx 0.7547 \), entonces \( x \approx \frac{17}{0.7547} \approx 22.5 \).

Answer:

1. \( x \approx 5.9 \)
2. \( x = 9.0 \)
3. \( x \approx 7.6 \)
4. \( x \approx 16.1 \)
5. \( x \approx 19.6 \)
6. \( x \approx 31.3 \)
7. \( x \approx 23.5 \)
8. \( x \approx 22.5 \)