Question

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$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\\\ 4x + 2y - z = 5 \\\\ x + 3y + 2z = 13 \\end{cases}$$

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Explanation:

列出方程组

设给定的三元一次方程组为：

$$
LATEXBLOCK0
$$

消去未知数 z

将方程 (1) 与方程 (2) 相加：

$$ (x + y + z) + (4x + 2y - z) = 6 + 5 $$

$$ 5x + 3y = 11 \quad \text{--- (4)} $$

将方程 (1) 乘以 2，再与方程 (3) 相减：

$$ 2(x + y + z) = 12 \quad \text{--- (5)} $$

用方程 (3) 减去方程 (5)：

$$ (x + 3y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 13 - 12 $$

$$ -x + y = 1 \quad \text{--- (6)} $$

求解二元一次方程组

由方程 (6) 可得：

$$ y = x + 1 \quad \text{--- (7)} $$

将 (7) 代入 (4)：

$$ 5x + 3(x + 1) = 11 $$

$$ 8x + 3 = 11 $$

$$ 8x = 8 \implies x = 1 $$

将 \(x = 1\) 代入 (7) 求得 \(y\)：

$$ y = 1 + 1 = 2 $$

求解未知数 z

将 \(x = 1\) 和 \(y = 2\) 代入方程 (1)：

$$ 1 + 2 + z = 6 $$

$$ 3 + z = 6 \implies z = 3 $$

检验方程组的解

将 \(x = 1, y = 2, z = 3\) 代入方程 (2) 和 (3) 进行验证：
对于 (2)：\(4(1) + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\) （成立）
对于 (3)：\(1 + 3(2) + 2(3) = 1 + 6 + 6 = 13\) （成立）

Answer:

$$
LATEXBLOCK0
$$