Question

1. triangle abc is shown below with vertices at a(3, -2) b(3, -6), and c(9, -2).

(a) draw △abc, the image of △abc, after a rotation by 90° counterclockwise about the origin. show the mapping of the vertices below.
(b) explain why the distance from the origin to point c is equal to the distance from the origin to point c.

Explanation:

Explicación breve:

Para resolver este problema, se aplica la regla de rotación de \(90^{\circ}\) en sentido antihorario en el plano cartesiano. La regla para rotar un punto \((x,y)\) \(90^{\circ}\) en sentido antihorario alrededor del origen es \((x,y)\to(-y,x)\).

Paso 1: Mapeo de los vértices

• Para el vértice \(A(3,- 2)\):

Sustituyendo \(x = 3\) y \(y=-2\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(A'=(2,3)\).

• Para el vértice \(B(3,-6)\):

Sustituyendo \(x = 3\) y \(y = - 6\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(B'(6,3)\).

• Para el vértice \(C(9,-2)\):

Sustituyendo \(x = 9\) y \(y=-2\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(C'(2,9)\).

Paso 2: Explicación de la igualdad de distancias

La rotación es una transformación rígida. Las transformaciones rígidas preservan las distancias y las medidas de ángulo. Esto significa que la distancia entre cualquier par de puntos en la figura original es igual a la distancia entre los puntos correspondientes en la figura rotada. En particular, la distancia desde el origen \((0,0)\) al punto \(C\) y la distancia desde el origen \((0,0)\) al punto \(C'\) se preservan porque la rotación es una transformación rígida.

Respuesta:

a) Los vértices del triángulo \(A'B'C'\) son \(A'(2,3)\), \(B'(6,3)\) y \(C'(2,9)\).
b) La rotación es una transformación rígida que preserva las distancias, por lo tanto, \(d(OC)=d(OC')\).

Answer:

Explicación breve:

Para resolver este problema, se aplica la regla de rotación de \(90^{\circ}\) en sentido antihorario en el plano cartesiano. La regla para rotar un punto \((x,y)\) \(90^{\circ}\) en sentido antihorario alrededor del origen es \((x,y)\to(-y,x)\).

Paso 1: Mapeo de los vértices

• Para el vértice \(A(3,- 2)\):

Sustituyendo \(x = 3\) y \(y=-2\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(A'=(2,3)\).

• Para el vértice \(B(3,-6)\):

Sustituyendo \(x = 3\) y \(y = - 6\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(B'(6,3)\).

• Para el vértice \(C(9,-2)\):

Sustituyendo \(x = 9\) y \(y=-2\) en la regla \((x,y)\to(-y,x)\), se obtiene \(C'(2,9)\).

Paso 2: Explicación de la igualdad de distancias

La rotación es una transformación rígida. Las transformaciones rígidas preservan las distancias y las medidas de ángulo. Esto significa que la distancia entre cualquier par de puntos en la figura original es igual a la distancia entre los puntos correspondientes en la figura rotada. En particular, la distancia desde el origen \((0,0)\) al punto \(C\) y la distancia desde el origen \((0,0)\) al punto \(C'\) se preservan porque la rotación es una transformación rígida.

Respuesta:

a) Los vértices del triángulo \(A'B'C'\) son \(A'(2,3)\), \(B'(6,3)\) y \(C'(2,9)\).
b) La rotación es una transformación rígida que preserva las distancias, por lo tanto, \(d(OC)=d(OC')\).