Question

1. a, b, and c are collinear and b is the midpoint of ac. the length of ab = x² − 2x, and the length of bc = 3x + 50. solve for all possible values of x & ac.

Explanation:

Step1: Usar la propiedad del punto medio

Como B es el punto medio de AC, entonces \( AB = BC \). Entonces, establecemos la ecuación:
\( x^2 - 2x = 3x + 50 \)

Step2: Reordenar la ecuación cuadrática

Reordenamos la ecuación para obtener una ecuación cuadrática estándar:
\( x^2 - 2x - 3x - 50 = 0 \)
\( x^2 - 5x - 50 = 0 \)

Step3: Factorizar la ecuación cuadrática

Factorizamos la ecuación \( x^2 - 5x - 50 = 0 \). Buscamos dos números que sumen -5 y se multipliquen para -50. Estos números son -10 y 5.
\( (x - 10)(x + 5) = 0 \)

Step4: Resolver para x

Usamos la propiedad del producto cero: si \( ab = 0 \), entonces \( a = 0 \) o \( b = 0 \).

• Para \( x - 10 = 0 \), tenemos \( x = 10 \)
• Para \( x + 5 = 0 \), tenemos \( x = -5 \)

Step5: Verificar los valores de x y calcular AC

Primero, recordemos que \( AC = 2 \times AB \) (o \( 2 \times BC \)) porque B es el punto medio.

Caso 1: \( x = 10 \)

• Calculamos \( AB \): \( AB = (10)^2 - 2(10) = 100 - 20 = 80 \)
• Entonces, \( AC = 2 \times AB = 2 \times 80 = 160 \)
• Verificamos \( BC \): \( BC = 3(10) + 50 = 30 + 50 = 80 \), que es igual a \( AB \), así que es válido.

Caso 2: \( x = -5 \)

• Calculamos \( AB \): \( AB = (-5)^2 - 2(-5) = 25 + 10 = 35 \)
• Entonces, \( AC = 2 \times AB = 2 \times 35 = 70 \)
• Verificamos \( BC \): \( BC = 3(-5) + 50 = -15 + 50 = 35 \), que es igual a \( AB \), así que es válido.

Answer:

Los valores posibles de \( x \) son \( x = 10 \) (con \( AC = 160 \)) y \( x = -5 \) (con \( AC = 70 \)).