Question

8 which of the following is true for the relation $f(x) = 3x^2 + 5$?

• neither the equation nor its inverse is a function.
• only the equation is a function.
• both the equation and its inverse are functions
• only the inverse is a function.

Explanation:

Step1: Analizar si \( f(x) = 3x^2 + 5 \) es una función

Usamos la prueba de la recta vertical. Para \( f(x) = 3x^2 + 5 \), que es una parábola abierta hacia arriba, cualquier recta vertical corta la gráfica en solo un punto. Entonces, \( f(x) \) es una función.

Step2: Encontrar la inversa y analizar si es una función

Primero, intercambiamos \( x \) e \( y \): \( x = 3y^2 + 5 \). Luego, resolvemos para \( y \):
\( 3y^2 = x - 5 \)
\( y^2 = \frac{x - 5}{3} \)
\( y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}} \)

Ahora, usamos la prueba de la recta vertical en la inversa. Para un valor de \( x \) (por ejemplo, \( x = 8 \)), tenemos \( y = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \), lo que significa que una recta vertical corta la gráfica en dos puntos. Por lo tanto, la inversa no es una función.

Answer:

Only the equation is a function. (La opción: "Only the equation is a function.")