Question

which of the following expressions is equivalent to $x^2 + 36$?
a) $(x + 6)(x - 6)$
b) $(x - 6i)(x + 6i)$
c) $(x + 6i)(x + 6i)$
d) $(x - 6i)(x - 6i)$

Explanation:

Step1: Analizar la opción A

Expandir \((x + 6)(x - 6)\) usando la fórmula de diferencia de cuadrados \( (a + b)(a - b)=a^2 - b^2 \). Aquí, \( a = x \) y \( b = 6 \), entonces \((x + 6)(x - 6)=x^2 - 6^2=x^2 - 36\), que no es equivalente a \( x^2 + 36 \).

Step2: Analizar la opción B

Expandir \((x - 6i)(x + 6i)\) usando la fórmula de diferencia de cuadrados \( (a + b)(a - b)=a^2 - b^2 \). Aquí, \( a = x \) y \( b = 6i \), entonces \((x - 6i)(x + 6i)=x^2 - (6i)^2\). Sabemos que \( i^2=-1 \), así que \( (6i)^2 = 36i^2=36(-1)=-36 \). Entonces \( x^2 - (6i)^2=x^2 - (-36)=x^2 + 36 \), que es equivalente a la expresión dada.

Step3: Analizar la opción C

Expandir \((x + 6i)(x + 6i)=(x + 6i)^2\) usando la fórmula \( (a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2 \). Aquí, \( a = x \) y \( b = 6i \), entonces \((x + 6i)^2=x^2 + 2(x)(6i)+(6i)^2=x^2 + 12ix + 36i^2=x^2 + 12ix - 36\), que no es equivalente a \( x^2 + 36 \).

Step4: Analizar la opción D

Expandir \((x - 6i)(x - 6i)=(x - 6i)^2\) usando la fórmula \( (a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2 \). Aquí, \( a = x \) y \( b = 6i \), entonces \((x - 6i)^2=x^2 - 2(x)(6i)+(6i)^2=x^2 - 12ix + 36i^2=x^2 - 12ix - 36\), que no es equivalente a \( x^2 + 36 \).

Answer:

B) \((x - 6i)(x + 6i)\)