Question

universidade técnica de mocambique
dirección académica
exame normal de estatística 1
data:12.12.2025 cursos: cage,gf,ap,grh e mkrp
duração: 120 minutos

1. calcule o desvio padrão amostral da idade de 5 pessoas: 10, 13, 24, 47, 50 (5,0 v)

a) o desvio padrão e a variância podem ser negativos? (1,0 v)
b) em que situação o desvio padrão e a variância são nulos? e qual deve ser a amplitude neste caso?(1,0v)

1. um conjunto de dados apresenta uma média aritmética de 18,3 e um desvio padrão de 1,47.

a) calcule o coeficiente de variação. (1,0 v)

1. enumere as fases do método estatístico descritivo. (1,0 v)
2. um analista interessou-se por vendas diárias de pão em diferentes postos de venda na cidade de chimoio. feita a recolha de dados foram observados os seguintes valores em milhões de meticais, devidamente expostos no rol crescente: 1,2;1,8;2,0;2,4;2,8;2,8;2,8;3,2;3,2;3,6;3,8;4,8;4,8;5,0;5,2;.

a) determine a amplitude total (1,0 v)
b) determine o número de classe com base na regra de sturges (1,0 v)
c) determine o intervalo de classes (1,0v)
d) calcule os pontos médios (1,0 v)
e) calcule as frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas). (2,0 v)

1. considere a seguinte distribuição de frequências correspondente aos diferentes preços em unidades monetárias (u.m) de um determinado produto em vinte e duas lojas pesquisadas no mercado central.

preços	50,5	51	52	54,5	56	total
número de lojas	2	5	8	6	1	22

a) identifique e classifique as variáveis envolvidas (1,0v)
b) qual o percentual de lojas que apresentam um preço de até 52 u.m. (1,0v)
c) qual o preço médio do produto em referência? (1,0v)
d) calcule o desvio padrão e conclua quanto a sua dispersão. (2,0v)
bom trabalho!

Answer:

1. Cálculo do Desvio Padrão Amostral (Questão 1)

Explicação:

Para calcular o desvio padrão amostral, seguimos os passos:

Passo 1: Calcular a média ($\bar{x}$)

A média é a soma dos valores dividida pelo número de valores ($n$). Os valores são $10, 13, 24, 47, 50$ e $n = 5$.

Soma: $10 + 13 + 24 + 47 + 50 = 144$

Média: $\bar{x} = \frac{144}{5} = 28.8$

Passo 2: Calcular os desvios em relação à média ($x_i - \bar{x}$)

• $10 - 28.8 = -18.8$
• $13 - 28.8 = -15.8$
• $24 - 28.8 = -4.8$
• $47 - 28.8 = 18.2$
• $50 - 28.8 = 21.2$

Passo 3: Elevar os desvios ao quadrado ($(x_i - \bar{x})^2$)

• $(-18.8)^2 = 353.44$
• $(-15.8)^2 = 249.64$
• $(-4.8)^2 = 23.04$
• $(18.2)^2 = 331.24$
• $(21.2)^2 = 449.44$

Passo 4: Somar os quadrados dos desvios ($\sum (x_i - \bar{x})^2$)

Soma: $353.44 + 249.64 + 23.04 + 331.24 + 449.44 = 1406.8$

Passo 5: Calcular a variância amostral ($s^2$)

A variância amostral é $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$. Aqui, $n - 1 = 4$.

$s^2 = \frac{1406.8}{4} = 351.7$

Passo 6: Calcular o desvio padrão amostral ($s$)

O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral.

$s = \sqrt{351.7} \approx 18.75$

1a) Possibilidade de Valores Negativos

A variância é a média dos quadrados dos desvios, e os quadrados são sempre não negativos. A soma de não negativos dividida por um número positivo (ou zero, mas $n - 1 \geq 1$ para $n \geq 2$) também é não negativa. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, e a raiz quadrada de um número não negativo é também não negativo. Portanto, nem o desvio padrão nem a variância podem ser negativos.

1b) Quando Desvio Padrão e Variância São Nulos

O desvio padrão e a variância são nulos quando todos os valores dos dados são iguais (ou seja, não há dispersão). Nesse caso, a amplitude (diferença entre o valor máximo e mínimo) também será zero, pois todos os valores são iguais.

2. Coeficiente de Variação (Questão 2a)

Explicação:

O coeficiente de variação ($CV$) é dado por $\frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$, onde $s$ é o desvio padrão e $\bar{x}$ é a média.

Dados: $\bar{x} = 18.3$, $s = 1.47$

$CV = \frac{1.47}{18.3} \times 100\% \approx 8.03\%$

3. Fases do Método Estatístico Descritivo

Explicação:

As fases do método estatístico descritivo são:

1. Coleta de Dados: Obter os dados, seja por censo, amostragem, etc.
2. Organização de Dados: Classificar e estruturar os dados (por exemplo, em tabelas de frequência).
3. Resumo de Dados: Calcular medidas resumidas (média, mediana, desvio padrão, etc.) e apresentar gráficos (histogramas, gráficos de barras, etc.).
4. Análise e Interpretação: Interpretar os resultados resumidos para extrair informações relevantes.

4. Análise de Vendas de Pão (Questão 4)

Dados: $1,2; 1,8; 2,0; 2,4; 2,8; 2,8; 2,8; 3,2; 3,2; 3,6; 3,8; 4,8; 4,8; 5,0; 5,2$ (supondo que a digitação esteja correta, com $n = 15$ valores? Verificar a contagem: Vamos contar: 1,2; 1,8; 2,0; 2,4; 2,8; 2,8; 2,8; 3,2; 3,2; 3,6; 3,8; 4,8; 4,8; 5,0; 5,2 → 15 valores).

4a) Amplitude Total

Amplitude = Valor Máximo - Valor Mínimo

Valor Mínimo ($x_{min}$) = $1,2$; Valor Máximo ($x_{max}$) = $5,2$

Amplitude = $5,2 - 1,2 = 4,0$

4b) Número de Classes (Regra de Sturges)

A regra de Sturges é $k = 1 + 3,322 \log_{10}(n)$, onde $n$ é o número de observações.

$n = 15$

$\log_{10}(15) \approx 1,176$

$k = 1 + 3,322 \times 1,176 \approx 1 + 3,907 \approx 5$ (arredondando para cima)

4c) Intervalo de Classes

O intervalo de classe ($i$) é dado por $\frac{\text{Amplitude}}{k}$. Amplitude = $4,0$, $k = 5$

$i = \frac{4,0}{5} = 0,8$ (ou ajustar para facilitar, por exemplo, $0,8$ ou $1,0$; mas seguindo a regra, $i \approx 0,8$)

4d) Pontos Médios

O ponto médio de uma classe $[L_i, L_s]$ é $\frac{L_i + L_s}{2}$.

Por exemplo, se as classes forem:

1. $1,2 - 2,0$ (intervalo $0,8$), ponto médio = $\frac{1,2 + 2,0}{2} = 1,6$
2. $2,0 - 2,8$, ponto médio = $\frac{2,0 + 2,8}{2} = 2,4$
3. $2,8 - 3,6$, ponto médio = $\frac{2,8 + 3,6}{2} = 3,2$
4. $3,6 - 4,4$, ponto médio = $\frac{3,6 + 4,4}{2} = 4,0$ (mas nossos dados vão até $5,2$, então talvez ajustar as classes. Talvez melhor usar $i = 1,0$ para facilitar, mas seguindo a regra de Sturges com $k = 5$ e amplitude $4,0$, $i = 0,8$.)

4e) Frequências Absolutas e Relativas

• Frequência Absoluta ($f$): Contagem de valores em cada classe.
• Frequência Relativa Simples ($f_r$): $\frac{f}{n} \times 100\%$
• Frequência Relativa Acumulada ($f_{ra}$): Soma das frequências relativas simples até a classe atual.
• Frequência Absoluta Acumulada ($f_a$): Soma das frequências absolutas até a classe atual.

Por exemplo, para a classe $1,2 - 2,0$:

• $f$: contar quantos valores estão entre $1,2$ e $2,0$ (inclusive o limite inferior, exclusivo o superior? Ou conforme convenção). Valores: $1,2; 1,8$ → $f = 2$
• $f_r = \frac{2}{15} \times 100\% \approx 13,33\%$
• $f_a$: $2$ (para a primeira classe), $2 + f_{próxima}$ para a segunda, etc.
• $f_{ra}$: $13,33\%$ (primeira classe), $13,33\% + f_{r_{próxima}}$ para a segunda, etc.

5. Distribuição de Frequências de Preços (Questão 5)

Dados:

Preços (um)	50,5	51	52	54,5	56	Total

5a) Identificação e Classificação de Variáveis

• Variável 1: "Preços" (variável quantitativa contínua, pois representa valores monetários, podendo assumir valores em um intervalo)
• Variável 2: "Número de lojas" (variável quantitativa discreta, pois representa a contagem de lojas)

5b) Percentual de Lojas com Preço Até 52 um

Lojas com preço até 52 um: $2 + 5 + 8 = 15$

Percentual: $\frac{15}{22} \times 100\% \approx 68,18\%$

5c) Preço Médio (Média Ponderada)

A média ponderada é dada por $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{\sum f_i}$, onde $x_i$ é o preço e $f_i$ é o número de lojas (frequência).

Calculando $\sum (x_i \times f_i)$:

• $50,5 \times 2 = 101$
• $51 \times 5 = 255$
• $52 \times 8 = 416$
• $54,5 \times 6 = 327$
• $56 \times 1 = 56$

Soma: $101 + 255 + 416 + 327 + 56 = 1155$

$\sum f_i = 22$

$\bar{x} = \frac{1155}{22} \approx 52,5$ um

5d) Desvio Padrão e Dispersão

Para calcular o desvio padrão, usamos a fórmula para média ponderada:

1. Calcular a média $\bar{x} \approx 52,5$ (já calculada)
2. Calcular os desvios em relação à média: $x_i - \bar{x}$
3. Elevar os desvios ao quadrado: $(x_i - \bar{x})^2$
4. Multiplicar por frequência: $(x_i - \bar{x})^2 \times f_i$
5. Somar esses valores: $\sum [(x_i - \bar{x})^2 \times f_i]$
6. Calcular a variância: $\frac{\sum [(x_i - \bar{x})^2 \times f_i]}{\sum f_i - 1}$ (para amostra) ou $\frac{\sum [(x_i - \bar{x})^2 \times f_i]}{\sum f_i}$ (para população). Aqui, como é uma população (todas as 22 lojas), usamos a fórmula para população: $\sigma^2 = \frac{\sum [(x_i - \bar{x})^2 \times f_i]}{\sum f_i}$
7. Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Calculando cada passo:

• Para $x = 50,5$:
• $50,5 - 52,5 = -2$
• $(-2)^2 = 4$
• $4 \times 2 = 8$
• Para $x = 51$:
• $51 - 52,5 = -1,5$
• $(-1,5)^2 = 2,25$
• $2,25 \times 5 = 11,25$
• Para $x = 52$:
• $52 - 52,5 = -0,5$
• $(-0,5)^2 = 0,25$
• $0,25 \times 8 = 2$
• Para $x = 54,5$:
• $54,5 - 52,5 = 2$
• $2^2 = 4$
• $4 \times 6 = 24$
• Para $x = 56$:
• $56 - 52,5 = 3,5$
• $3,5^2 = 12,25$
• $12,25 \times 1 = 12,25$

Soma dos quadrados ponderados: $8 + 11,25 + 2 + 24 + 12,25 = 57,5$

Variância populacional: $\sigma^2 = \frac{57,5}{22} \approx 2,61$

Desvio padrão populacional: $\sigma = \sqrt{2,61} \approx 1,616$

Conclusão sobre Dispersão: O desvio padrão é relativamente pequeno (≈1,62), o que indica que os preços não estão muito dispersos em torno da média de ≈52,5 um.

Respostas Sumaria

1. Desvio Padrão Amostral ≈ 18.75; 1a) Não podem ser negativos; 1b) Quando todos os valores são iguais, amplitude = 0.
2. Coeficiente de Variação ≈ 8.03%.
3. Fases: Coleta, Organização, Resumo, Análise/Interpretação.
4. 4a) Amplitude = 4.0; 4b) k ≈ 5; 4c) i ≈ 0.8; 4d) Pontos médios conforme classes; 4e) Frequências conforme contagem.
5. 5a) Preços (quantitativa contínua), Número de lojas (quantitativa discreta); 5b) ≈68.18%; 5c) ≈52.5 um; 5d) Desvio Padrão ≈1.62, baixa dispersão.