Question

sujet : mécanique et physique moderne

partie i : mécanique sur plan incliné (6 points)
problème 1 : un mobile autoporteur de masse \\(m = 0.5\text{ kg}\\) glisse sans frottement sur un plan incliné dun angle \\(\alpha = 30^\circ\\) par rapport à lhorizontale.
1- établir lexpression de laccélération du centre dinertie du mobile et calculer sa valeur. (2 points)
2- déterminer la valeur de la réaction normale \\(\vec{r}\\) exercée par le plan sur le mobile. (1.5 points)
3- si le mobile est lâché sans vitesse initiale depuis le sommet, à une hauteur \\(h = 1.2\text{ m}\\), calculer sa vitesse au bas du plan incliné. (2.5 points) (prendre \\(g = 9.81\text{ m/s}^2\\))

partie ii : effet photoélectrique et structure atomique (6 points)
problème 2 : une cellule photoélectrique est éclairée par une radiation monochromatique de longueur donde \\(\lambda = 450\text{ nm}\\).
1- calculer lénergie des photons incidents en ev. (2 points)
2- si le travail de sortie du matériau de la cathode est \\(w_0 = 2.1\text{ ev}\\), déterminer lénergie cinétique maximale des électrons émis. (2.5 points)
3- déduire le potentiel darrêt \\(u_0\\) correspondant. (2 points)

partie iii : ondes électromagnétiques et satellites (8 points)
problème 3 : un satellite de communication orbite autour de la terre à une altitude \\(h\\).
1- calculer la période orbitale dun satellite géostationnaire (\\(t = 24\text{ h}\\)). (3 points)
2- un signal électromagnétique de fréquence \\(f = 12\text{ ghz}\\) est émis par le satellite. calculer sa longueur donde \\(\lambda\\). (2 points)
3- sachant que la puissance reçue par une antenne parabolique est proportionnelle à la surface de lantenne, expliquer comment optimiser la réception dun signal de faible intensité. (3 points)

activités :
1- interpréter la condition nécessaire pour lobservation de leffet photoélectrique. (2 points)
2- rédiger une conclusion sur le lien entre linclinaison dun plan et laccélération. (2 points)
3- proposer une application concrète des ondes électromagnétiques dans les télécommunications par satellite. (2 points)

Explanation:

🆕 Nouveau concept découvert : Lois de Newton et Effet Photoélectrique
*Appliquer les principes de la dynamique et de la physique quantique.*

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Partie I : Mécanique sur plan incliné

Step 1: Accélération du centre d'inertie

Le mobile de masse \( m \) glisse sans frottement sur un plan incliné d'un angle \( \alpha = 30^\circ \).
Système : {mobile} de masse \( m \).
Bilan des forces :
- Le poids \( \vec{P} \)
- La réaction normale du plan \( \vec{R} \) (car pas de frottement)

Deuxième loi de Newton :
\[ \sum \vec{F} = m\vec{a} \implies \vec{P} + \vec{R} = m\vec{a} \]

En projetant sur l'axe \( Ox \) parallèle au plan incliné et dirigé vers le bas :
\[ P_x = m \cdot a \implies m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a \]
\[ a = g \cdot \sin(\alpha) \]

Calcul de la valeur avec \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \) :
\[ a = 9,81 \cdot \sin(30^\circ) = 9,81 \cdot 0,5 = 4,905 \text{ m/s}^2 \]

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Step 2: Réaction normale du plan

En projetant la deuxième loi de Newton sur l'axe \( Oy \) perpendiculaire au plan incliné et dirigé vers le haut :
\[ R - P_y = 0 \implies R = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]

Calcul de la valeur :
\[ R = 0,5 \cdot 9,81 \cdot \cos(30^\circ) \approx 0,5 \cdot 9,81 \cdot 0,866 \approx 4,25 \text{ N} \]

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Step 3: Vitesse au bas du plan incliné

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique entre le sommet (vitesse initiale nulle \( v_0 = 0 \)) et le bas du plan :
\[ \Delta E_c = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) \]
\[ \frac{1}{2}m v^2 - 0 = m \cdot g \cdot h + 0 \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]

Calcul de la valeur avec \( h = 1,2 \text{ m} \) :
\[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 1,2} = \sqrt{23,544} \approx 4,85 \text{ m/s} \]

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Partie II : Effet Photoélectrique et Structure Atomique

Step 4: Énergie des photons incidents

L'énergie \( E \) d'un photon est donnée par la relation de Planck-Einstein :
\[ E = \frac{h \cdot c}{\lambda} \]

Avec :
- \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \)
- \( c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \)
- \( \lambda = 450 \text{ nm} = 450 \times 10^{-9} \text{ m} \)

Calcul en Joules :
\[ E = \frac{6,626 \times 10^{-34} \cdot 3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}} \approx 4,417 \times 10^{-19} \text{ J} \]

Conversion en électronvolts (\( 1 \text{ eV} = 1,602 \times 10^{-19} \text{ J} \)) :
\[ E = \frac{4,417 \times 10^{-19}}{1,602 \times 10^{-19}} \approx 2,76 \text{ eV} \]

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Step 5: Énergie cinétique maximale des électrons émis

D'après l'équation d'Einstein pour l'effet photoélectrique :
\[ E = W_0 + E_{c,\text{max}} \implies E_{c,\text{max}} = E - W_0 \]

Avec \( W_0 = 2,1 \text{ eV} \) :
\[ E_{c,\text{max}} = 2,76 - 2,1 = 0,66 \text{ eV} \]

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Step 6: Potentiel d'arrêt

Le potentiel d'arrêt \( U_0 \) est lié à l'énergie cinétique maximale par la relation :
\[ E_{c,\text{max}} = e \cdot U_0 \]
\[ U_0 = \frac{E_{c,\text{max}}}{e} \]

Puisque \( E_{c,\text{max}} \) est exprimé en \( \text{eV} \), la valeur numérique de la tension en volts est égale à celle de l'énergie en \( \text{eV} \) :
\[ U_0 = 0,66 \text{ V} \]

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Partie III : Ondes Électromagnétiques et Satellites

Step 7: Période orbitale d'un satellite géostationnaire

La période orbitale d'un satellite géostationnaire est égale à la période de rotation propre de la Terre (un jour sidéral), soit :
\[ T = 24 \text{ h} = 24 \cdot 3600 \text{ s} = 86\,400 \text{ s} \]

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Step 8: Longueur d'onde du signal

La relation entre la longueur d'onde \( \lambda \), la célérité de la lumière \( c \) et la fréquence \( f \) est :
\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

Avec \( f = 12 \text{ GHz} = 12 \times 10^9 \text{ Hz} \) :
\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8}{12 \times 10^9} = 0,025 \text{ m} = 2,5 \text{ cm} \]

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Step 9: Optimisation de la réception d'un signal faible

La puissance reçue par une antenne parabolique est proportionnelle à sa surface géométrique (\( S = \pi \cdot R^2 \)).
Pour optimiser la réception d'un signal de faible intensité, il faut :
1. **Augmenter le diamètre (la surface) de la parabole** afin de collecter et de concentrer une plus grande quantité d'énergie électromagnétique vers le foyer.
2. **Améliorer l'alignement et le pointage** de l'antenne précisément vers le satellite pour maximiser le gain.

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Activités

Step 10: Réponses aux questions de synthèse

1. **Condition nécessaire pour l'effet photoélectrique** : L'énergie du photon incident \( E \) doit être supérieure ou égale au travail de sortie \( W_0 \) du matériau de la cathode (\( E \ge W_0 \)), ce qui correspond à une fréquence seuil minimale \( f \ge f_0 \).
2. **Lien entre inclinaison et accélération** : L'accélération \( a = g \cdot \sin(\alpha) \) est une fonction croissante de l'angle d'inclinaison \( \alpha \) (pour \( 0 \le \alpha \le 90^\circ \)). Plus le plan est incliné, plus l'accélération est grande.
3. **Application concrète des ondes électromagnétiques** : La transmission de signaux de télévision par satellite (TV directe) ou l'accès Internet par satellite (comme Starlink), utilisant des micro-ondes pour traverser l'atmosphère terrestre.

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Answer:

Partie I : Mécanique

1. Accélération : \( a = g \cdot \sin(\alpha) = 4,91 \text{ m/s}^2 \)
2. Réaction normale : \( R = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 4,25 \text{ N} \)
3. Vitesse finale : \( v = \sqrt{2gh} = 4,85 \text{ m/s} \)

Partie II : Effet Photoélectrique

1. Énergie incidente : \( E = 2,76 \text{ eV} \)
2. Énergie cinétique maximale : \( E_{c,\text{max}} = 0,66 \text{ eV} \)
3. Potentiel d'arrêt : \( U_0 = 0,66 \text{ V} \)

Partie III : Satellites et Ondes

1. Période : \( T = 24 \text{ h} = 86\,400 \text{ s} \)
2. Longueur d'onde : \( \lambda = 2,5 \text{ cm} \)
3. Optimisation : Augmenter la surface de la parabole pour capter plus de puissance.