Question

select whether the law of sines or the law of cosines should be used as the first step in solving the following triangle, then solve the triangle.

the first step in solving the triangle is to use the law of sines / law of cosines

find (m\angle b). round to one decimal place. enter the degree symbol by typing deg.

find (m\angle c). round to one decimal place. enter the degree symbol by typing deg.

find (a). round to three decimal places.

Explanation:

Identificar el primer paso para resolver el triángulo

Para resolver el triángulo \(ABC\), conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (caso LAL):

• Lado \(c = AB = 9\text{ mm}\)
• Lado \(b = AC = 7\text{ mm}\)
• Ángulo \(A = 71^\circ\)

Dado que no conocemos ningún par de ángulo y su lado opuesto, no podemos usar la Ley de Senos directamente. Por lo tanto, debemos utilizar la Ley de Cosenos para encontrar el lado opuesto \(a\).

Calcular el lado \(a\) usando la Ley de Cosenos

Aplicamos la fórmula de la Ley de Cosenos para el lado \(a\):

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$$

Sustituimos los valores conocidos:

$$a^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9) \cos(71^\circ)$$

$$a^2 = 49 + 81 - 126 \cos(71^\circ)$$

$$a^2 = 130 - 126(0.325568)$$

$$a^2 \approx 130 - 41.0216 = 88.9784$$

$$a \approx \sqrt{88.9784} \approx 9.4328\text{ mm}$$

Redondeando a tres decimales:

$$a \approx 9.433\text{ mm}$$

Calcular el ángulo \(B\) usando la Ley de Senos

Usamos la Resolución de triángulos oblicuángulos para hallar el ángulo \(B\) mediante la Ley de Senos:

$$\frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(A)}{a}$$

$$\sin(B) = \frac{b \cdot \sin(A)}{a}$$

Sustituimos los valores:

$$\sin(B) = \frac{7 \cdot \sin(71^\circ)}{9.4328}$$

$$\sin(B) \approx \frac{7 \cdot 0.945519}{9.4328} \approx \frac{6.61863}{9.4328} \approx 0.70166$$

$$B = \arcsin(0.70166) \approx 44.56^\circ$$

Redondeando a un decimal:

$$m\angle B \approx 44.6^\circ$$

Calcular el ángulo \(C\)

La suma de los ángulos internos de un triángulo es \(180^\circ\):

$$m\angle C = 180^\circ - A - B$$

$$m\angle C \approx 180^\circ - 71^\circ - 44.56^\circ = 64.44^\circ$$

Redondeando a un decimal:

$$m\angle C \approx 64.4^\circ$$

Answer:

El primer paso para resolver el triángulo es usar la Law of Cosines.

Find \(m\angle B\). Round to one decimal place. Enter the degree symbol by typing deg.
44.6 deg

Find \(m\angle C\). Round to one decimal place. Enter the degree symbol by typing deg.
64.4 deg

Find \(a\). Round to three decimal places.
9.433 mm