Question

in rhombus abcd below, ab=17 m and ec=15 m. find the area of the rhombus. be sure to include the correct unit in your answer. area: blank m m² m³

Explanation:

Step1: Propiedades del rombo

En un rombo, las diagonales se bisectan entre sí y son perpendiculares. Además, todos los lados son iguales. Aquí, \( AB = 17 \, \text{m} \) (lado del rombo) y \( EC = 15 \, \text{m} \). Como \( E \) es el punto de intersección de las diagonales, \( AC = 2 \times EC = 2 \times 15 = 30 \, \text{m} \). Ahora, consideremos el triángulo rectángulo \( AEB \) (o \( AED \), etc.), donde \( AB \) es la hipotenusa, \( AE \) es la mitad de la otra diagonal (\( BD \)) y \( BE \) es la mitad de \( AC \)? No, espera: \( EC \) es la mitad de \( AC \), así que \( AC = 30 \, \text{m} \). Ahora, en el triángulo rectángulo formado por la mitad de cada diagonal y un lado del rombo, usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la mitad de la otra diagonal (\( BD \)). Sea \( AE = x \) (mitad de \( BD \)), entonces \( AB^2 = AE^2 + BE^2 \)? No, \( BE \) es la mitad de \( AC \)? Wait, no: en el rombo, las diagonales se cortan en \( E \), así que \( AE = EC = 15 \, \text{m} \)? No, no: \( EC = 15 \, \text{m} \), entonces \( AC = 2 \times EC = 30 \, \text{m} \). Y \( BE = ED \), y \( AE = EC \)? No, en un rombo, las diagonales se bisectan, así que \( AE = EC \) y \( BE = ED \), y son perpendiculares. Entonces, en el triángulo \( AEB \), \( AB = 17 \, \text{m} \), \( AE = 15 \, \text{m} \)? No, wait, \( EC = 15 \, \text{m} \), entonces \( AC = 2 \times 15 = 30 \, \text{m} \), así que \( AE = 15 \, \text{m} \). Entonces, en el triángulo rectángulo \( AEB \), \( AB = 17 \, \text{m} \) (hipotenusa), \( AE = 15 \, \text{m} \) (uno de los catetos), entonces el otro cateto (\( BE \)) se calcula como:

\( BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \, \text{m} \).

Entonces, la diagonal \( BD = 2 \times BE = 2 \times 8 = 16 \, \text{m} \).

Step2: Área del rombo

La fórmula para el área de un rombo es \( \text{Área} = \frac{d_1 \times d_2}{2} \), donde \( d_1 \) y \( d_2 \) son las longitudes de las diagonales. Aquí, \( d_1 = AC = 30 \, \text{m} \) y \( d_2 = BD = 16 \, \text{m} \). Entonces:

\( \text{Área} = \frac{30 \times 16}{2} = \frac{480}{2} = 240 \, \text{m}^2 \).

Answer:

\( 240 \, \text{m}^2 \)