Question

recuperação do 2º bimestre

questão 01 - determine a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, isto é, o quadrado está dentro da circunferência, de equação reduzida \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = 64\\). em que a e b podem ser qualquer número real.

questão 02 - considerando a circunferência \\(\lambda\\) que passa pelo ponto \\(p(-2, 6)\\) e pelo ponto \\(a(6, 4)\\), sendo o ponto a diametralmente oposto a p. qual é a posição relativa do ponto \\(q(-2, 4)\\) em relação a circunferência \\(\lambda\\)?

questão 03 - determine os valores reais de p para que a reta de equação \\(2x - y + p = 0\\) seja tangente á circunferência de equação \\(x^2 + y^2 - 4 = 0\\)

questão 04 - calcule a distância entre o ponto \\(p(3, 5)\\) ao centro da circunferência de equação \\(x^2 + y^2 - 6x - 10y - 3 = 0\\)

Explanation:

Identificar o raio da circunferência na Questão 1

A equação reduzida da circunferência é dada por:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

Comparando com a equação fornecida:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = 64$$

Obtemos o raio \(R\):

$$R^2 = 64 \implies R = 8$$

Para um quadrado inscrito em uma circunferência, a diagonal \(d\) do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência:

$$d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$$

A área \(A\) de um quadrado em função de sua diagonal \(d\) é:

$$A = \frac{d^2}{2} = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$$

Determinar a equação da circunferência na Questão 2

Os pontos \(P(-2, 6)\) and \(A(6, 4)\) são diametralmente opostos. O centro \(C(x_c, y_c)\) é o ponto médio do segmento \(PA\):

$$x_c = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

$$y_c = \frac{6 + 4}{2} = 5 \implies C(2, 5)$$

O raio \(R\) é a distância de \(C\) a \(P\):

$$R^2 = (2 - (-2))^2 + (5 - 6)^2 = 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$$

Para determinar a posição do ponto \(Q(-2, 4)\), calculamos o quadrado da distância de \(Q\) ao centro \(C\):

$$d(Q, C)^2 = (-2 - 2)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$$

Como \(d(Q, C)^2 = R^2 = 17\), a distância é igual ao raio, logo o ponto \(Q\) pertence à circunferência \(\lambda\) (ponto interno/fronteira, ou seja, está sobre a circunferência).

Determinar os valores de p na Questão 3

A circunferência tem equação \(x^2 + y^2 - 4 = 0 \implies x^2 + y^2 = 4\), com centro \(C(0,0)\) e raio \(R = 2\).
Para que a reta \(2x - y + p = 0\) seja tangente, a distância do centro \(C(0,0)\) à reta deve ser igual ao raio \(R = 2\):

$$d = \frac{|2(0) - 0 + p|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2$$

$$\frac{|p|}{\sqrt{5}} = 2 \implies |p| = 2\sqrt{5} \implies p = \pm 2\sqrt{5}$$

Calcular a distância na Questão 4

A equação geral da circunferência é \(x^2 + y^2 - 6x - 10y - 3 = 0\).
Encontramos o centro \(C(x_c, y_c)\) completando quadrados ou usando as fórmulas \(x_c = -\frac{D}{2}\) e \(y_c = -\frac{E}{2}\):

$$x_c = -\frac{-6}{2} = 3$$

$$y_c = -\frac{-10}{2} = 5 \implies C(3, 5)$$

O ponto dado é \(P(3, 5)\). Como as coordenadas de \(P\) são idênticas às coordenadas do centro \(C\), a distância entre eles é:

$$d(P, C) = 0$$

Answer:

Question 1

A área do quadrado inscrito é \(128\).

Question 2

O ponto \(Q(-2, 4)\) pertence à circunferência \(\lambda\) (está sobre a circunferência).

Question 3

Os valores reais de \(p\) são \(p = 2\sqrt{5}\) ou \(p = -2\sqrt{5}\).

Question 4

A distância entre o ponto \(P(3, 5)\) e o centro da circunferência é \(0\).