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what are the roots of the equation 9x² = 12x − 7 in simplest a + bi form?
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x =
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√ ±

Explanation:

Step 1: Reescribe la ecuación en forma estándar

Primero, reescribimos la ecuación \(9x^2 = 12x - 7\) en la forma estándar de una ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\). Restamos \(12x\) y sumamos \(7\) a ambos lados:
\(9x^2 - 12x + 7 = 0\)
Aquí, \(a = 9\), \(b = -12\) y \(c = 7\).

Step 2: Aplicar la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática es \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Sustituimos los valores de \(a\), \(b\) y \(c\):
Primero, calculamos el discriminante \(D = b^2 - 4ac\).
\(D = (-12)^2 - 4(9)(7) = 144 - 252 = -108\)
Luego, sustituimos en la fórmula cuadrática:
\(x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{-108}}{2(9)} = \frac{12 \pm \sqrt{-108}}{18}\)

Step 3: Simplificar la raíz cuadrada

Simplificamos \(\sqrt{-108}\). Sabemos que \(\sqrt{-108} = \sqrt{108} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{36 \cdot 3} \cdot i = 6\sqrt{3}i\) (donde \(i\) es la unidad imaginaria, \(i^2 = -1\)).
Entonces,
\(x = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}i}{18}\)

Step 4: Simplificar la fracción

Dividimos el numerador y el denominador por \(6\):
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{3}i}{3}\)
Podemos escribirlo como \(x = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{3}}{3}i\)

Answer:

Las raíces de la ecuación son \(x = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}i\) y \(x = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}i\) o en forma \(a + bi\): \(\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{3}}{3}i\)