questão 173

um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. o mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

de quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

a 36
b 53
c 300
d 360
e 560

Question

questão 173

um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. o mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

de quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

a 36
b 53
c 300
d 360
e 560

Accepted Answer

{ "quality": "clear", "question_count": 4, "skills_matched": [ "step_cot", "multiple_choice_formatter", "explain_then_answer", "quick" ], "needs_drawing": false, "concepts_used": [], "new_concepts": [ "Geometria Espacial", "Equações Algébricas", "Análise Combinatória" ], "current_concepts": [ "Área de Semicírculo", "Equações de Primeiro Grau", "Análise Combinatória", "Velocidade Média" ] } ## Áreas das seções transversais do Projeto 1 e Projeto 2 $$ \begin{aligned} &R_{1,\text{auto}} = \frac{12}{2} = 6\text{ m} \implies A_{1,\text{auto}} = \frac{\pi \cdot 6^2}{2} \approx \frac{3 \cdot 36}{2} = 54\text{ m}^2\ &R_{1,\text{bike}} = \frac{6}{2} = 3\text{ m} \implies A_{1,\text{bike}} = \frac{\pi \cdot 3^2}{2} \approx \frac{3 \cdot 9}{2} = 13,5\text{ m}^2\ &A_{\text{Projeto 1}} = 54 + 13,5 = 67,5\text{ m}^2\ &R_2 = \frac{3 + 6 + 6 + 3}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ m} \implies A_{\text{Projeto 2}} = \frac{\pi \cdot 9^2}{2} \approx \frac{3 \cdot 81}{2} = 121,5\text{ m}^2 \end{aligned} $$ ## Determinação do número de parcelas $n$ $$ \begin{aligned} &V = 60000\ &\text{Opção 1: } P_1 = \frac{60000}{n}\ &\text{Opção 2: } P_2 = \frac{60000}{n+6} = P_1 - 500 \implies \frac{60000}{n+6} = \frac{60000}{n} - 500\ &\frac{120}{n+6} = \frac{120}{n} - 1 \implies 120n = 120(n+6) - n(n+6) \implies n^2 + 6n - 720 = 0\ &(n - 24)(n + 30) = 0 \implies n = 24 \end{aligned} $$ ## Distribuição dos presentes $$ \begin{aligned} &\text{Total de presentes: } 8 \quad (\text{Bicicleta } B, \text{ Celular } C, \text{ outros } 6)\ &\text{Filho mais velho (V): } 3 \text{ presentes}, \text{ Filho mais novo (N): } 3 \text{ presentes}, \text{ Filho do meio (M): } 2 \text{ presentes}\ &\text{Condição para V: } (B \in V \text{ e } C otin V) \text{ ou } (C \in V \text{ e } B otin V)\ &\text{Caso 1: } B \in V \text{ e } C otin V \implies \text{Escolha dos outros 2 para V: } \binom{6}{2} = 15\ &\text{Escolha de 3 para N dos 5 restantes (inclui } C\text{): } \binom{5}{3} = 10 \implies 15 \cdot 10 = 150\ &\text{Caso 2: } C \in V \text{ e } B otin V \implies \text{Simétrico ao Caso 1} \implies 150 \text{ maneiras}\ &\text{Total} = 150 + 150 = 300 \end{aligned} $$ ## Distância percorrida pelo jogador $$ \begin{aligned} &\Delta t_2 = 45\text{ min} \implies d_2 = 4,5\text{ km} \implies v_m = \frac{4,5\text{ km}}{45\text{ min}} = 0,1\text{ km/min}\ &\Delta t_{\text{prorrogação}} = 30\text{ min} \implies d_{\text{prorrogação}} = v_m \cdot \Delta t_{\text{prorrogação}} = 0,1 \cdot 30 = 3\text{ km}\ &d_{\text{total}} = d_2 + d_{\text{prorrogação}} = 4,5 + 3 = 7,5\text{ km} \end{aligned} $$ ## Question 171 (A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².

(B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².

(C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².

(D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².

(E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais. ## Question 172 (A) 18

(B) 24

(C) 30

(D) 42

(E) 48 ## Question 173 (A) 36

(B) 53

(C) 300

(D) 360

(E) 560 ## Question 174 (A) 4,5.

(B) 6,0.

(C) 7,5.

(D) 9,0.

(E) 12,0.

{ "subject": "Mathematics", "question_type": "Multiple Choice", "knowledge_point": [ "Mathematics", "Geometry", "Área de Semicírculo" ] }

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QUESTION IMAGE

Question

Explanation:

Áreas das seções transversais do Projeto 1 e Projeto 2

Determinação do número de parcelas \(n\)

Distribuição dos presentes

Distância percorrida pelo jogador

Answer:

Question 171

Question 172

Question 173

Question 174