Question

¿qué expresiones son equivalentes a tan(∠r)? elige 2 respuestas: a length of side adjacent to ∠q / length of side opposite to ∠q b length of side opposite to ∠q / length of side adjacent to ∠q c pq / pr

Explanation:

Step1: Analizar el triángulo rectángulo

El triángulo \( \triangle PRQ \) es rectángulo en \( P \), por lo tanto, \( \angle P = 90^\circ \).

Step2: Definir la tangente de un ángulo

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo.

Step3: Analizar \( \tan(\angle R) \)

Para \( \angle R \):

• Cateto opuesto: \( PQ \) (opuesto a \( \angle R \))
• Cateto adyacente: \( PR \) (adyacente a \( \angle R \))

Así, \( \tan(\angle R) = \frac{PQ}{PR} \).

Step4: Analizar \( \angle Q \)

En el triángulo rectángulo, \( \angle R + \angle Q = 90^\circ \) (ángulos complementarios).
Para \( \angle Q \):

• Cateto opuesto: \( PR \)
• Cateto adyacente: \( PQ \)

Entonces, \( \tan(\angle Q) = \frac{PR}{PQ} \), y \( \cot(\angle Q) = \frac{PQ}{PR} \). Pero también, \( \tan(\angle R) = \cot(\angle Q) \) (ya que \( \angle R \) y \( \angle Q \) son complementarios, \( \tan(\theta) = \cot(90^\circ - \theta) \)).
También, \( \cot(\angle Q) = \frac{\text{cateto adyacente a } \angle Q}{\text{cateto opuesto a } \angle Q} \), y \( \tan(\angle R) = \frac{\text{cateto adyacente a } \angle Q}{\text{cateto opuesto a } \angle Q} \)? No, espero, vamos a revisar:

Es mejor: \( \tan(\angle R) = \frac{PQ}{PR} \).

Ahora, para \( \angle Q \):

• Cateto adyacente: \( PQ \) (porque \( \angle Q \) tiene como adyacente \( PQ \), ya que \( \angle Q \) está en \( Q \), y los lados son \( PQ \) (adyacente) y \( PR \) (opuesto)? Espero, no. De nuevo:

En \( \angle Q \):

• Vértice en \( Q \), lados: \( PQ \) (adyacente, ya que forma el ángulo \( \angle Q \) con el hipotenusa \( RQ \)) y \( PR \) (opuesto, ya que está opuesto a \( \angle Q \)). Entonces, \( \tan(\angle Q) = \frac{PR}{PQ} \), y \( \cot(\angle Q) = \frac{PQ}{PR} \). Pero \( \angle R + \angle Q = 90^\circ \), así que \( \tan(\angle R) = \cot(\angle Q) = \frac{PQ}{PR} \), que es igual a \( \frac{\text{cateto adyacente a } \angle Q}{\text{cateto opuesto a } \angle Q} \) (ya que cateto adyacente a \( \angle Q \) es \( PQ \), y cateto opuesto a \( \angle Q \) es \( PR \)).

Así, \( \tan(\angle R) = \frac{\text{length of side adjacent to } \angle Q}{\text{length of side opposite to } \angle Q} \) (opción A) y \( \tan(\angle R) = \frac{PQ}{PR} \) (opción C).

Y también, \( \tan(\angle R) = \frac{PQ}{PR} \), que es la opción C. Y la opción A es \( \frac{\text{length of side adjacent to } \angle Q}{\text{length of side opposite to } \angle Q} \), que es \( \frac{PQ}{PR} \), ya que:

• Side adjacent to \( \angle Q \): \( PQ \) (porque en \( \angle Q \), el lado adyacente es \( PQ \), ya que \( \angle Q \) está en \( Q \), y el lado \( PQ \) es el que forma el ángulo con el hipotenusa \( RQ \), y el lado opuesto a \( \angle Q \) es \( PR \). Entonces, \( \frac{\text{adjacent to } \angle Q}{\text{opposite to } \angle Q} = \frac{PQ}{PR} = \tan(\angle R) \).

La opción B es \( \frac{\text{opposite to } \angle Q}{\text{adjacent to } \angle Q} = \frac{PR}{PQ} = \tan(\angle Q) \), que no es igual a \( \tan(\angle R) \) (ya que \( \angle R \) y \( \angle Q \) son complementarios, \( \tan(\angle R) = \cot(\angle Q) = \frac{1}{\tan(\angle Q)} \)).

Así, las opciones correctas son A y C.

Answer:

A. \( \frac{\text{length of side adjacent to } \angle Q}{\text{length of side opposite to } \angle Q} \), C. \( \frac{PQ}{PR} \)