Question

1. on lance une balle vers le bas du toit dun édifice de 49 mètres. la distance parcourue par la balle en tout temps t (en secondes) est donnée par léquation s(t) = 14,7t + 4,9t² (mètres).

a) calculez la vitesse instantanée de la balle en tout temps t.
b) quelle est la vitesse initiale de la balle?
c) après combien de secondes la balle touchera-t-elle le sol?
d) quelle sera la vitesse de la balle lorsquelle touchera le sol?

Explanation:

Step1: Calculer la dérivée de \(s(t)\)

La vitesse instantanée \(v(t)\) est la dérivée de la fonction de position \(s(t)\). En utilisant les règles de dérivation (\((ax^{n})^\prime = nax^{n - 1}\)), on a :

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step2: Trouver la vitesse initiale

La vitesse initiale est \(v(0)\). On remplace \(t = 0\) dans \(v(t)\) :

$$ v(0)=14,7+9,8\times0 = 14,7\space m/s $$

Step3: Trouver le temps où la balle touche le sol

Quand la balle touche le sol, \(s(t)=49\). On résout l'équation \(14,7t + 4,9t^{2}=49\). On divise tous les termes par \(4,9\) :

$$
LATEXBLOCK1
$$

En utilisant la formule quadratique \(t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) pour \(at^{2}+bt + c = 0\) (\(a = 1\), \(b = 3\), \(c=- 10\)) :

$$
LATEXBLOCK2
$$

On a deux solutions \(t_{1}=\frac{-3 + 7}{2}=2\) et \(t_{2}=\frac{-3-7}{2}=-5\). Comme \(t\geq0\), \(t = 2\space s\)

Step4: Trouver la vitesse à \(t = 2\)

On remplace \(t = 2\) dans \(v(t)\) :

$$ v(2)=14,7+9,8\times2=14,7 + 19,6=34,3\space m/s $$

Answer:

a) \(v(t)=14,7 + 9,8t\space m/s\)
b) \(14,7\space m/s\)
c) \(2\space s\)
d) \(34,3\space m/s\)