Question

inequalities and absoluta
absolute value
graph
① ( x < 3 ) or ( x > 7 ) ② graph ( 4 leq x leq 7 ) ③ absolute value and graph ( |3x + 12| = 7 ) or ( | - 4x + 5 | leq 1 )
④ solve and graph ( 8 < 5x < 30 ) ⑤ solve a simple inequality and graph ( 5(-x + 2) + 4x > 3x + 11 )
solve and graph
⑥ ( 4x < 36 ) ⑦ ( - 3x > 18 ) ⑧ ( |x| > 7 )
( |2x + 9| < 13 ) ⑩ ( 3x < 12 ) ⑪ ( |x| + 2 < 8 )

Explanation:

Solución del problema ⑥: \( 4x < 36 \)

Step 1: Dividir ambos lados por 4

Para aislar \( x \), dividimos ambos lados de la desigualdad \( 4x < 36 \) por 4 (un número positivo, por lo que la dirección de la desigualdad no cambia).

$$ \frac{4x}{4} < \frac{36}{4} $$

Simplificando, obtenemos:

$$ x < 9 $$

Step 2: Graficar la solución

Para graficar \( x < 9 \) en la recta numérica:

• Colocamos un círculo abierto en 9 (porque \( x \) no es igual a 9).
• Dibujamos una línea hacia la izquierda desde el círculo abierto, indicando todos los números menores que 9.

Solución del problema ⑦: \( -3x > 18 \)

Step 1: Dividir ambos lados por -3

Dividimos ambos lados de la desigualdad \( -3x > 18 \) por -3. Como dividimos por un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia.

$$ \frac{-3x}{-3} < \frac{18}{-3} $$

Simplificando, obtenemos:

$$ x < -6 $$

Step 2: Graficar la solución

Para graficar \( x < -6 \) en la recta numérica:

• Colocamos un círculo abierto en -6 (porque \( x \) no es igual a -6).
• Dibujamos una línea hacia la izquierda desde el círculo abierto, indicando todos los números menores que -6.

Solución del problema ⑧: \( |x| > 7 \)

Step 1: Interpretar el valor absoluto

La desigualdad \( |x| > 7 \) significa que la distancia de \( x \) al origen (0) en la recta numérica es mayor que 7. Esto se descompone en dos desigualdades:

$$ x > 7 \quad \text{ó} \quad x < -7 $$

Step 2: Graficar la solución

Para graficar \( |x| > 7 \) en la recta numérica:

• Colocamos círculos abiertos en 7 y en -7 (porque \( x \) no es igual a 7 ni a -7).
• Dibujamos una línea hacia la derecha desde el círculo abierto en 7 (indicando \( x > 7 \)).
• Dibujamos una línea hacia la izquierda desde el círculo abierto en -7 (indicando \( x < -7 \)).

Solución del problema ⑨: \( 8 < 5x < 30 \)

Answer:

Step 1: Interpretar la desigualdad compuesta

La desigualdad \( 4 \leq x \leq 7 \) significa que \( x \) puede ser cualquier número entre 4 y 7, incluyendo 4 y 7.

Step 2: Graficar la solución

Para graficar \( 4 \leq x \leq 7 \) en la recta numérica:

• Colocamos círculos cerrados en 4 y en 7 (porque \( x \) puede ser igual a 4 o a 7).
• Dibujamos una línea entre los dos círculos cerrados, indicando todos los números entre 4 y 7, incluyendo los extremos.

Solución del problema ③: \( |3x + 12| = 7 \) o \( -4x + 5 \leq 1 \)

Parte 1: Resolver \( |3x + 12| = 7 \)

Step 1: Descomponer el valor absoluto

La ecuación \( |3x + 12| = 7 \) se descompone en dos ecuaciones:

$$ 3x + 12 = 7 \quad \text{ó} \quad 3x + 12 = -7 $$

Step 2: Resolver \( 3x + 12 = 7 \)

Restamos 12 de ambos lados:

$$ 3x = 7 - 12 $$

$$ 3x = -5 $$

Dividimos por 3:

$$ x = -\frac{5}{3} $$

Step 3: Resolver \( 3x + 12 = -7 \)

Restamos 12 de ambos lados:

$$ 3x = -7 - 12 $$

$$ 3x = -19 $$

Dividimos por 3:

$$ x = -\frac{19}{3} $$

Parte 2: Resolver \( -4x + 5 \leq 1 \)

Step 1: Restar 5 de ambos lados

$$ -4x + 5 - 5 \leq 1 - 5 $$

$$ -4x \leq -4 $$

Step 2: Dividir por -4 (cambiar la desigualdad)

$$ \frac{-4x}{-4} \geq \frac{-4}{-4} $$

$$ x \geq 1 $$

Solución combinada

La solución es \( x = -\frac{5}{3} \), \( x = -\frac{19}{3} \) (de la ecuación de valor absoluto) o \( x \geq 1 \) (de la desigualdad).

Solución del problema ④: \( |3x + 12| = 7 \) o \( -4x + 5 \leq 1 \) (Nota: Este problema es el mismo que el ③, asumiendo un error de escritura)

La solución es la misma que la del problema ③: \( x = -\frac{5}{3} \), \( x = -\frac{19}{3} \) o \( x \geq 1 \).

Resumen de Soluciones:

• ①: \( x < 3 \) o \( x > 7 \) (gráfico: círculos abiertos en 3 y 7, líneas hacia la izquierda y derecha).
• ②: \( 4 \leq x \leq 7 \) (gráfico: círculos cerrados en 4 y 7, línea entre ellos).
• ③/④: \( x = -\frac{5}{3} \), \( x = -\frac{19}{3} \) o \( x \geq 1 \).
• ⑤: \( x < -\frac{1}{4} \) (gráfico: círculo abierto en \( -\frac{1}{4} \), línea hacia la izquierda).
• ⑥: \( x < 9 \) (gráfico: círculo abierto en 9, línea hacia la izquierda).
• ⑦: \( x < -6 \) (gráfico: círculo abierto en -6, línea hacia la izquierda).
• ⑧: \( x < -7 \) o \( x > 7 \) (gráfico: círculos abiertos en -7 y 7, líneas hacia la izquierda y derecha).
• ⑨: \( 1.6 < x < 6 \) (gráfico: círculos abiertos en 1.6 y 6, línea entre ellos).
• ⑩: \( x < 4 \) (gráfico: círculo abierto en 4, línea hacia la izquierda).
• ⑪: \( -6 < x < 6 \) (gráfico: círculos abiertos en -6 y 6, línea entre ellos).
• \( |2x + 9| < 13 \): \( -11 < x < 2 \) (gráfico: círculos abiertos en -11 y 2, línea entre ellos).