Question

1. how many days will it take for the zombie population to reach 2,700 (about the population of los angeles, ca)?
2. at what rate would the zombie population be growing if it reached 150,000 people about the population of salt lake city, utah) in 20 days?

now were going to get a little more attached in the scenario. lets say that zombies produce radioactive goo that decays continuously with a half - life of 2 years. (thats one more danger of having zombies around.) the half - life tells us that after 2 years, only half of the amount of goo we started with is remaining.

1. if we start with 10 pounds of zombie goo, how much will be remaining after 5 years?
2. how long will it take for the amount of zombie goo to decay to an amount less than 0.5 pounds?
3. when will there be no zombie goo left?

Explanation:

Step1: Identificar la ecuación de decaimiento radioactivo

La ecuación de decaimiento radioactivo es $A = A_0e^{-kt}$, donde $A$ es la cantidad final, $A_0$ es la cantidad inicial, $k$ es la constante de decaimiento y $t$ es el tiempo. La vida media $T_{1/2}$ está relacionada con $k$ por $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$.

Step2: Encontrar la constante de decaimiento $k$ para el problema 10

Dado que no se da la vida - media en el enunciado, supongamos que la vida media $T_{1/2}$ es conocida. Si $T_{1/2}$ es la vida media, entonces $k=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Para el problema 10, $A_0 = 10$ libras y queremos encontrar $A$ después de cierto tiempo $t$. Sin embargo, falta la información de la vida media. Pero si suponemos que $t = 5$ años, entonces $A = 10e^{-5k}$.

Step3: Resolver el problema 11

Para el problema 11, $A_0 = 10$ libras, $A=0.5$ libras. Sustituimos en la ecuación $A = A_0e^{-kt}$:
$0.5 = 10e^{-kt}$.
Dividimos ambos lados por 10: $\frac{0.5}{10}=e^{-kt}$, es decir $0.05 = e^{-kt}$.
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados: $\ln(0.05)=-kt$.
Entonces $t =-\frac{\ln(0.05)}{k}$.

Step4: Analizar el problema 12

En teoría, en un decaimiento radioactivo continuo, nunca habrá una cantidad exactamente igual a cero de la sustancia radioactiva. Matemáticamente, si $A = A_0e^{-kt}=0$, entonces $\ln(A)=\ln(A_0)-kt$. Pero $\ln(0)$ no está definido. En la práctica, se considera que la cantidad es despreciable cuando alcanza un umbral muy pequeño, pero nunca se alcanza exactamente cero.

Answer:

Para el problema 10: Falta información (vida media).
Para el problema 11: $t =-\frac{\ln(0.05)}{k}$ (necesita la constante de decaimiento $k$).
Para el problema 12: Teóricamente, nunca.