Question

graph the following system of inequalities on the coordinate plane and shade the resulting solution region: \\(\

$$\begin{cases} y > 2x - 3 \\\\ y \\leq -x + 4 \\end{cases}$$

\\)

Explanation:

Step1: 绘制第一条不等式\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线。其斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)。由于不等式是\(y > 2x - 3\)（不包含等号），所以边界线用虚线绘制。然后，选取一个测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 > 2(0) - 3\)，即\(0 > -3\)，该式成立，所以阴影区域在这条虚线的上方。

Step2: 绘制第二条不等式\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线。其斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)。由于不等式包含等号（\(\leq\)），所以边界线用实线绘制。选取测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，该式成立，所以阴影区域在这条实线的下方。

Step3: 确定解集区域

两条不等式的解集区域是它们各自阴影区域的交集。即同时满足\(y > 2x - 3\)（虚线\(y = 2x - 3\)上方）和\(y \leq -x + 4\)（实线\(y = -x + 4\)下方）的区域。在坐标平面上，找到这两条线的交点，通过解方程组\(

$$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x + 4\end{cases}$$

\)，将\(y = 2x - 3\)代入\(y = -x + 4\)，得到\(2x - 3 = -x + 4\)，移项得\(3x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{3}\)，再代入\(y = -x + 4\)，得\(y = -\frac{7}{3} + 4 = \frac{5}{3}\)，所以交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。解集区域是在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方且在两条线交点附近的区域。

图形描述（文字版）：

• 绘制虚线\(y = 2x - 3\)（斜率为\(2\)，过\((0, -3)\)和\((1, -1)\)等点），并在其上方（包含测试点\((0,0)\)的一侧）阴影。
• 绘制实线\(y = -x + 4\)（斜率为\(-1\)，过\((0, 4)\)和\((4, 0)\)等点），并在其下方（包含测试点\((0,0)\)的一侧）阴影。
• 最终的解集区域是这两个阴影区域的重叠部分，边界线\(y = 2x - 3\)为虚线（不包含在解集中），\(y = -x + 4\)为实线（包含在解集中），交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。

（注：实际绘图时，在坐标平面上画出这两条线，按上述规则标记虚线、实线和阴影区域即可。）

Answer:

Step1: 绘制第一条不等式\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线。其斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)。由于不等式是\(y > 2x - 3\)（不包含等号），所以边界线用虚线绘制。然后，选取一个测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 > 2(0) - 3\)，即\(0 > -3\)，该式成立，所以阴影区域在这条虚线的上方。

Step2: 绘制第二条不等式\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线。其斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)。由于不等式包含等号（\(\leq\)），所以边界线用实线绘制。选取测试点（例如\((0,0)\)），代入不等式：\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，该式成立，所以阴影区域在这条实线的下方。

Step3: 确定解集区域

两条不等式的解集区域是它们各自阴影区域的交集。即同时满足\(y > 2x - 3\)（虚线\(y = 2x - 3\)上方）和\(y \leq -x + 4\)（实线\(y = -x + 4\)下方）的区域。在坐标平面上，找到这两条线的交点，通过解方程组\(

$$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x + 4\end{cases}$$

\)，将\(y = 2x - 3\)代入\(y = -x + 4\)，得到\(2x - 3 = -x + 4\)，移项得\(3x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{3}\)，再代入\(y = -x + 4\)，得\(y = -\frac{7}{3} + 4 = \frac{5}{3}\)，所以交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。解集区域是在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方且在两条线交点附近的区域。

图形描述（文字版）：

• 绘制虚线\(y = 2x - 3\)（斜率为\(2\)，过\((0, -3)\)和\((1, -1)\)等点），并在其上方（包含测试点\((0,0)\)的一侧）阴影。
• 绘制实线\(y = -x + 4\)（斜率为\(-1\)，过\((0, 4)\)和\((4, 0)\)等点），并在其下方（包含测试点\((0,0)\)的一侧）阴影。
• 最终的解集区域是这两个阴影区域的重叠部分，边界线\(y = 2x - 3\)为虚线（不包含在解集中），\(y = -x + 4\)为实线（包含在解集中），交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。

（注：实际绘图时，在坐标平面上画出这两条线，按上述规则标记虚线、实线和阴影区域即可。）