Question

given that \\(abcd \sim pqrs\\), select all of the following statements that are always true.

\\(\frac{bc}{qr} = \frac{ab}{rs}\\)

\\(\frac{ps}{cd} = \frac{rs}{cd}\\)

\\(\frac{cd}{rs} = \frac{ad}{ps}\\)

\\(\frac{sr}{dc} = \frac{qr}{bc}\\)

Explanation:

Identificar la relación de semejanza

Dado que los cuadriláteros son semejantes, \(ABCD \sim PQRS\), el orden de las letras determina la correspondencia exacta entre sus vértices y lados. Esto significa que:

• El vértice \(A\) corresponde a \(P\).
• El vértice \(B\) corresponde a \(Q\).
• El vértice \(C\) corresponde a \(R\).
• El vértice \(D\) corresponde a \(S\).

Establecer las razones de los lados correspondientes

A partir de la correspondencia de los vértices, los lados correspondientes son proporcionales:

$$ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CD}{RS} = \frac{AD}{PS} $$

También podemos escribir la relación inversa de proporcionalidad:

$$ \frac{PQ}{AB} = \frac{QR}{BC} = \frac{RS}{CD} = \frac{PS}{AD} $$

Evaluar cada opción dada

Analizamos cada una de las afirmaciones propuestas para verificar si siempre son verdaderas:

1. Primera opción: \(\frac{BC}{QR} = \frac{AB}{RS}\)

• De la relación de semejanza, sabemos que \(\frac{BC}{QR} = \frac{AB}{PQ}\). Como \(RS\) no es necesariamente igual a \(PQ\), esta igualdad no siempre es verdadera.

1. Segunda opción: \(\frac{PS}{CD} = \frac{RS}{CD}\)

• Esto implicaría que \(PS = RS\), lo cual solo es cierto si el cuadrilátero \(PQRS\) tiene esos dos lados iguales (comportamiento no general). Por lo tanto, no siempre es verdadera.

1. Tercera opción: \(\frac{CD}{RS} = \frac{AD}{PS}\)

• De nuestra relación de proporcionalidad directa, sabemos que \(\frac{CD}{RS}\) y \(\frac{AD}{PS}\) son ambas iguales a la razón de semejanza entre los dos polígonos. Por lo tanto, esta igualdad siempre es verdadera.

1. Cuarta opción: \(\frac{SR}{DC} = \frac{QR}{BC}\)

• Notemos que \(SR\) es lo mismo que el segmento \(RS\), y \(DC\) es lo mismo que \(CD\). De la relación inversa de proporcionalidad, tenemos:

$$ \frac{RS}{CD} = \frac{QR}{BC} \implies \frac{SR}{DC} = \frac{QR}{BC} $$

Esta igualdad siempre es verdadera.

Answer:

• ▢ \(\frac{BC}{QR} = \frac{AB}{RS}\)
• ▢ \(\frac{PS}{CD} = \frac{RS}{CD}\)
• ☑ \(\frac{CD}{RS} = \frac{AD}{PS}\) (Correct answer)
• ☑ \(\frac{SR}{DC} = \frac{QR}{BC}\) (Correct answer)