Question

find the inverse of the relation ( y = pm sqrt{x - 7} ), and then choose the correct statement from the list below.
a. neither the equation nor its inverse is a function.
b. only the equation is a function.
c. only the inverse is a function.
d. both the equation and its inverse are functions.

Explanation:

Step1: Encontrar la inversa

Para encontrar la inversa de la relación \( y = \pm \sqrt{x - 7} \), intercambiamos \( x \) e \( y \) y resolvemos para \( y \):

Intercambiamos: \( x = \pm \sqrt{y - 7} \)

Elevamos al cuadrado ambos lados: \( x^2 = y - 7 \)

Resolmos para \( y \): \( y = x^2 + 7 \)

Step2: Determinar si son funciones

- **Para la relación original \( y = \pm \sqrt{x - 7} \)**:
Usamos la prueba de la recta vertical. Para un valor de \( x \) (por ejemplo, \( x = 8 \)), \( y = \pm \sqrt{8 - 7} = \pm 1 \). Esto significa que una misma \( x \) tiene dos valores de \( y \), por lo tanto, no es una función.

- **Para la inversa \( y = x^2 + 7 \)**:
Usamos la prueba de la recta vertical. Para un valor de \( x \) (por ejemplo, \( x = 1 \) y \( x = -1 \)), \( y = 1^2 + 7 = 8 \) y \( y = (-1)^2 + 7 = 8 \). Esto significa que dos valores de \( x \) tienen el mismo valor de \( y \), pero la prueba de la recta vertical dice que una relación es una función si cada \( x \) tiene **solo un** \( y \). Aquí, cada \( x \) tiene solo un \( y \) (aunque diferentes \( x \) tengan el mismo \( y \), eso no viola la definición de función). Wait, no, esperemos: la función \( y = x^2 + 7 \) es una parábola que abre hacia arriba. La prueba de la recta vertical: cualquier recta vertical corta la gráfica en solo un punto. Entonces, \( y = x^2 + 7 \) es una función. Pero la relación original \( y = \pm \sqrt{x - 7} \) es como la gráfica de dos raíces cuadradas (positiva y negativa), lo que es una parábola horizontal, y la prueba de la recta vertical corta la gráfica en dos puntos, por lo que no es una función.

Wait, pero en el paso 1, la inversa de \( y = \pm \sqrt{x - 7} \) es \( y = x^2 + 7 \), que es una función (porque pasa la prueba de la recta vertical). La relación original \( y = \pm \sqrt{x - 7} \) no es una función (porque no pasa la prueba de la recta vertical). Entonces, la inversa es una función, y la original no. Entonces la opción correcta es C? Wait, no, esperemos:

Wait, la relación original es \( y = \pm \sqrt{x - 7} \). Eso es equivalente a \( x - 7 = y^2 \), o \( x = y^2 + 7 \), que es una parábola horizontal, por lo que no es una función (ya que para \( y = 1 \) y \( y = -1 \), \( x = 8 \), así que una \( x \) tiene dos \( y \)). La inversa es \( y = x^2 + 7 \), que es una parábola vertical, que es una función (porque para cada \( x \), hay solo un \( y \)). Entonces la inversa es una función, y la original no. Entonces la opción correcta es C: "Only the inverse is a function."? Wait, pero vamos a revisar de nuevo.

Wait, la pregunta es: "Find the inverse of the relation \( y = \pm \sqrt{x - 7} \), and then choose the correct statement from the list below."

Las opciones:

A. Neither the equation nor its inverse is a function.

B. Only the equation is a function.

C. Only the inverse is a function.

D. Both the equation and its inverse are functions.

Entonces:

- La ecuación original: \( y = \pm \sqrt{x - 7} \). Para \( x = 8 \), \( y = 1 \) y \( y = -1 \). Entonces, no es una función (porque un \( x \) tiene dos \( y \)).

- La inversa: \( y = x^2 + 7 \). Para cualquier \( x \), hay solo un \( y \). Por ejemplo, \( x = 2 \), \( y = 4 + 7 = 11 \); \( x = -2 \), \( y = 4 + 7 = 11 \). Pero la prueba de la recta vertical es que una recta vertical corta la gráfica en solo un punto. La gráfica de \( y = x^2 + 7 \) es una parábola que abre hacia arriba, así que cualquier recta vertical \( x = a \) corta la gráfica en \( (a, a^2 + 7) \), que es un solo punto. Entonces, la inversa es una función.

Entonces, la ecuación original no es una función, la inversa sí es una función. Entonces la opción correcta es C.

Answer:

C. Only the inverse is a function.