Question

find the inverse of the relation $y = 2(x^2 - 5)$, and then choose the correct statement from the list below.
a. both the equation and its inverse are functions.
b. only the equation is a function.
c. only the inverse is a function.
d. neither the equation nor its inverse is a function.

Explanation:

Step1: Encontrar la inversa

Para encontrar la inversa de \( y = 2(x^2 - 5) \), primero intercambiamos \( x \) e \( y \):
\( x = 2(y^2 - 5) \)
Luego resolvemos para \( y \):
Dividimos ambos lados por 2: \( \frac{x}{2} = y^2 - 5 \)
Sumamos 5 a ambos lados: \( y^2 = \frac{x}{2} + 5 \)
Tomamos la raíz cuadrada: \( y = \pm\sqrt{\frac{x}{2} + 5} \)

Step2: Determinar si son funciones

• Función original (\( y = 2(x^2 - 5) \)): Esta es una parábola que abre hacia arriba (por la forma \( y = ax^2 + bx + c \) con \( a = 2 > 0 \)). Al aplicar la prueba de la línea horizontal, una línea horizontal cortará la parábola en dos puntos, por lo que no es una función? Espera, no: la ecuación \( y = 2(x^2 - 5) \) es una función porque para cada valor de \( x \), hay un solo valor de \( y \) (aplica la prueba de la línea vertical: una línea vertical corta la gráfica en un solo punto).
• Inversa (\( y = \pm\sqrt{\frac{x}{2} + 5} \)): Aquí, para un valor de \( x \) (que haga que el radicando sea no negativo), hay dos valores de \( y \) (uno positivo y uno negativo). Por lo tanto, la inversa no es una función? Espera, me equivoqué. Vamos a revisar:

La función original \( y = 2(x^2 - 5) \) es una función (prueba de la línea vertical: sí). Ahora, su inversa: al despejar \( y \), obtenemos \( y = \pm\sqrt{\frac{x}{2} + 5} \), lo que significa que para un \( x \) válido, hay dos \( y \) (positivo y negativo). Por lo tanto, la inversa no es una función. Entonces, la ecuación original es una función, pero su inversa no. Por lo tanto, la opción correcta es B: "Only the equation is a function."

Answer:

B. Only the equation is a function.