Question

find the inverse of the relation $y = \sqrt{2x + 3}$, and then choose the correct statement from the list below.
a. only the equation is a function.
b. both the equation and its inverse are functions.
c. neither the equation nor its inverse is a function.
d. only the inverse is a function.

Explanation:

Step1: Encontrar la inversa

Para encontrar la inversa de \( y = \sqrt{2x + 3} \), primero intercambiamos \( x \) e \( y \):
\( x = \sqrt{2y + 3} \)
Luego, elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz:
\( x^2 = 2y + 3 \)
Despejamos \( y \):
\( x^2 - 3 = 2y \)
\( y = \frac{x^2 - 3}{2} \)

Step2: Verificar si son funciones

• Función original (\( y = \sqrt{2x + 3} \)):

La función raíz cuadrada \( \sqrt{u} \) tiene un dominio donde \( u \geq 0 \), así que \( 2x + 3 \geq 0 \implies x \geq -\frac{3}{2} \). Además, la raíz cuadrada es una función creciente y para cada \( x \) en el dominio, hay un solo \( y \) (ya que la raíz cuadrada principal es no negativa). Entonces, la función original es una función (pasa la prueba de la recta vertical).

• Inversa (\( y = \frac{x^2 - 3}{2} \)):

Esta es una parábola que abre hacia arriba (ya que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo \( \frac{1}{2} \)). Para verificar si es una función, usamos la prueba de la recta vertical. Una parábola que abre hacia arriba o abajo no pasa la prueba de la recta vertical? No, espera: la ecuación \( y = \frac{x^2 - 3}{2} \) es una función porque para cada \( x \), hay un solo \( y \) (es una ecuación de segundo grado en \( x \), pero como \( y \) está despejado, para cada \( x \), calculamos un solo \( y \)). Espera, no: la prueba de la recta vertical es si una recta vertical \( x = a \) corta la gráfica más de una vez. Para la parábola \( y = \frac{x^2 - 3}{2} \), una recta vertical \( x = a \) corta la gráfica en un solo punto \( (a, \frac{a^2 - 3}{2}) \), así que sí, es una función. Wait, no, me equivoqué: la parábola \( y = ax^2 + bx + c \) es una función (pasada la prueba de la recta vertical) porque para cada \( x \), hay un solo \( y \). La prueba de la recta horizontal es para ver si la inversa es una función, pero en este caso, la inversa es \( y = \frac{x^2 - 3}{2} \), que es una función (ya que es una ecuación con \( y \) despejado y para cada \( x \), un \( y \)).

Wait, no, la inversa de una función es una función si y solo si la función original es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). La función original \( y = \sqrt{2x + 3} \) es inyectiva (ya que es creciente, así que es uno a uno) y sobreyectiva en su rango (que es \( y \geq 0 \)). Entonces, su inversa debe ser una función.

Así que tanto la función original como su inversa son funciones.

Answer:

B. Both the equation and its inverse are functions.