Question

en los siguientes triángulos rectángulos, hallar las longitudes exactas de los lados a y c.
de ser necesario, escribir las respuestas en forma radical simplificada.

Explanation:

Step1: Hallar \( a \)

En un triángulo rectángulo de \( 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} \), el lado opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \) es la mitad de la hipotenusa. El lado opuesto al ángulo de \( 60^{\circ} \) es \( \sqrt{3} \) veces el lado opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \). Aquí, el lado opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \) es \( 4 \), entonces \( a = 4\sqrt{3} \).

Step2: Hallar \( c \)

En un triángulo rectángulo de \( 45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ} \), los lados catetos son iguales y la hipotenusa es \( \sqrt{2} \) veces el cateto. Aquí, la hipotenusa es \( 5 \), entonces \( c=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2} \).

Answer:

\( a = 4\sqrt{3} \)
\( c=\frac{5\sqrt{2}}{2} \)