Question

2，定义$p↑q = \
eg(p∧q)$，试仅用与非联结词$↑$分别表示出。(2013/2020 年真题)\
(1) $\
eg p$；(2) $p∧q$；(3) $p \
ightarrow q$；均要求结果简洁。

Explanation:

(1) 表示$

eg P$

Step1: 分析$

eg P$与与非联结词的关系
我们知道$P\uparrow P=
eg(P\wedge P)$，根据逻辑等价式，当$P$为真时，$P\wedge P$为真，$
eg(P\wedge P)$为假；当$P$为假时，$P\wedge P$为假，$
eg(P\wedge P)$为真，这和$
eg P$的真值表是一样的。

Step2: 得出表达式

所以$
eg P = P\uparrow P$。

(2) 表示$P\wedge Q$

Step1: 利用与非联结词的定义

已知$P\uparrow Q=
eg(P\wedge Q)$，那么对$P\uparrow Q$再进行一次与非运算，即$(P\uparrow Q)\uparrow(P\uparrow Q)$，根据定义，$(P\uparrow Q)\uparrow(P\uparrow Q)=
eg((P\uparrow Q)\wedge(P\uparrow Q))$。

Step2: 化简表达式

因为$P\uparrow Q=
eg(P\wedge Q)$，所以$(P\uparrow Q)\wedge(P\uparrow Q)=
eg(P\wedge Q)\wedge
eg(P\wedge Q)=
eg(P\wedge Q)$（根据幂等律），那么$
eg((P\uparrow Q)\wedge(P\uparrow Q))=
eg(
eg(P\wedge Q)) = P\wedge Q$（根据双重否定律）。所以$P\wedge Q=(P\uparrow Q)\uparrow(P\uparrow Q)$。

(3) 表示$P

ightarrow Q$

Step1: 回忆蕴含式的等价式

我们知道$P
ightarrow Q=
eg P\vee Q$，根据德摩根律，$
eg P\vee Q=
eg(P\wedge
eg Q)$。

Step2: 用与非联结词表示$

eg P$和$
eg Q$
由(1)可知$
eg P = P\uparrow P$，$
eg Q = Q\uparrow Q$。

Step3: 表示$P\wedge

eg Q$
根据(2)的结论，$P\wedge
eg Q=(P\uparrow(Q\uparrow Q))\uparrow(P\uparrow(Q\uparrow Q))$。

Step4: 表示$

eg(P\wedge
eg Q)$
再对$P\wedge
eg Q$进行与非运算，即$
eg(P\wedge
eg Q)=(P\uparrow(Q\uparrow Q))\uparrow(P\uparrow(Q\uparrow Q))\uparrow(P\uparrow(Q\uparrow Q))\uparrow(P\uparrow(Q\uparrow Q))$？不，更简单的方法：因为$P
ightarrow Q=
eg P\vee Q=
eg(P\wedge
eg Q)$，而根据与非的定义，$
eg(P\wedge
eg Q)=(P\uparrow
eg Q)$，又因为$
eg Q = Q\uparrow Q$，所以$P
ightarrow Q = P\uparrow(Q\uparrow Q)$。我们来验证真值表：
当$P = 1,Q = 1$时，$Q\uparrow Q=
eg(Q\wedge Q)=
eg1 = 0$，$P\uparrow0=
eg(P\wedge0)=
eg0 = 1$，$P
ightarrow Q = 1
ightarrow1 = 1$，相等；
当$P = 1,Q = 0$时，$Q\uparrow Q=
eg(0\wedge0)=
eg0 = 1$，$P\uparrow1=
eg(1\wedge1)=
eg1 = 0$，$P
ightarrow Q = 1
ightarrow0 = 0$，相等；
当$P = 0,Q = 1$时，$Q\uparrow Q=
eg(1\wedge1)=
eg1 = 0$，$P\uparrow0=
eg(0\wedge0)=
eg0 = 1$，$P
ightarrow Q = 0
ightarrow1 = 1$，相等；
当$P = 0,Q = 0$时，$Q\uparrow Q=
eg(0\wedge0)=
eg0 = 1$，$P\uparrow1=
eg(0\wedge1)=
eg0 = 1$，$P
ightarrow Q = 0
ightarrow0 = 1$，相等。所以$P
ightarrow Q = P\uparrow(Q\uparrow Q)$。

Answer:

(1) $\boldsymbol{
eg P = P\uparrow P}$；
(2) $\boldsymbol{P\wedge Q=(P\uparrow Q)\uparrow(P\uparrow Q)}$；
(3) $\boldsymbol{P
ightarrow Q = P\uparrow(Q\uparrow Q)}$。