Question

6 dans les polynômes suivants, déterminez la valeur de k qui rend lénoncé vrai.
a) $x^{2}-x - k$ se divise sans reste par $x + 3$.
b) $2t-1$ est un facteur de $6t^{2}+t + k$.
c) le reste est 3 lorsquon divise $4x^{2}-9x + k$ par $x + 1$.
d) lorsquon divise $2x^{3}+7x^{2}+5x - k$ par $2x + 1$, il reste - 5.
7 trouve lexpression algébrique qui représente la mesure de la base du triangle.
$a=(6x^{2}-5x - 4)\text{ cm}^2$

Explanation:

Step1: Utiliser le théorème du reste

Si un polynôme $P(x)$ est divisé par $x - a$, le reste est $P(a)$. Dans le cas où le polynôme est divisible sans reste, le reste est 0.

a)

Le polynôme $P(x)=x^{2}-x - k$ est divisé par $x + 3$, c'est - à - dire $x-(-3)$. Donc $P(-3)=0$.
\[

$$\begin{align*} (-3)^{2}-(-3)-k&=0\\ 9 + 3-k&=0\\ 12-k&=0\\ k&=12 \end{align*}$$

\]

b)

Si $2t - 1$ est un facteur de $Q(t)=6t^{2}+t + k$, alors $t=\frac{1}{2}$ est une racine de $Q(t)$, c'est - à - dire $Q(\frac{1}{2}) = 0$.
\[

$$\begin{align*} 6\times(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+k&=0\\ 6\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+k&=0\\ \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+k&=0\\ 2 + k&=0\\ k&=-2 \end{align*}$$

\]

c)

Lorsque l'on divise le polynôme $R(x)=4x^{2}-9x + k$ par $x + 1$ (soit $x-(-1)$), le reste est $R(-1)$. On sait que $R(-1)=3$.
\[

$$\begin{align*} 4\times(-1)^{2}-9\times(-1)+k&=3\\ 4 + 9 + k&=3\\ 13 + k&=3\\ k&=3 - 13\\ k&=-10 \end{align*}$$

\]

d)

Lorsque l'on divise le polynôme $S(x)=2x^{3}+7x^{2}+5x - k$ par $2x + 1$ (soit $x=-\frac{1}{2}$), le reste est $S(-\frac{1}{2})$. On sait que $S(-\frac{1}{2})=-5$.
\[

$$\begin{align*} 2\times(-\frac{1}{2})^{3}+7\times(-\frac{1}{2})^{2}+5\times(-\frac{1}{2})-k&=-5\\ 2\times(-\frac{1}{8})+7\times\frac{1}{4}-\frac{5}{2}-k&=-5\\ -\frac{1}{4}+\frac{7}{4}-\frac{10}{4}-k&=-5\\ \frac{-1 + 7-10}{4}-k&=-5\\ \frac{-4}{4}-k&=-5\\ -1-k&=-5\\ k&=-1 + 5\\ k&=4 \end{align*}$$

\]

Answer:

a) $k = 12$
b) $k=-2$
c) $k=-10$
d) $k = 4$