Question

consider the work shown to determine the value of (x) in the following triangle.

since this right triangle has a (30^{circ}) angle, it is a (30^{circ}-60^{circ}-90^{circ}) special triangle. the hypotenuse is (sqrt{3}) times larger than the longer leg.

x = 5sqrt{5}sqrt{3}
x = 5sqrt{15}

which statement best describes the work shown?

• the hypotenuse is not (sqrt{3}) times longer than the longer leg.
• the value for (x) was not simplified properly.
• this is not a (30^{circ}-60^{circ}-90^{circ}) special triangle.
• there was no error made.

correctly solve for (x). if there was no error, enter the value for (x) from the work above.

Explanation:

Identificar las relaciones en el triángulo especial

En un triángulo rectángulo especial de \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), las relaciones entre los lados opuestos a los ángulos de \(30^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\) son:

• El cateto menor (opuesto a \(30^\circ\)) mide \(s\).
• El cateto mayor (opuesto a \(60^\circ\)) mide \(s\sqrt{3}\).
• La hipotenusa (opuesta a \(90^\circ\)) mide \(2s\).

Por lo tanto, la hipotenusa es el doble de la longitud del cateto menor, no \(\sqrt{3}\) veces el cateto mayor. Usando Triángulos rectángulos especiales, la relación correcta es:

$$\text{Hipotenusa} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \text{Cateto mayor}$$

Analizar el error en el trabajo mostrado

El trabajo mostrado afirma que "la hipotenusa es \(\sqrt{3}\) veces más larga que el cateto mayor" y calcula:

$$x = 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{15}$$

Esto es incorrecto. Aplicando el Análisis de errores algebraicos, el error radica en que la hipotenusa no es \(\sqrt{3}\) veces el cateto mayor. Por lo tanto, la primera opción es la correcta: "The hypotenuse is not \(\sqrt{3}\) times longer than the longer leg."

Resolver correctamente para \(x\)

Dado que el cateto mayor (adyacente a \(30^\circ\)) mide \(5\sqrt{5}\):

$$\cos(30^\circ) = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{5\sqrt{5}}{x}$$

Sabiendo que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{x}$$

$$x = \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{15}}{3}$$

Answer:

Question 1

• (A) The hypotenuse is not \(\sqrt{3}\) times longer than the longer leg. (Correct answer)
• (B) The value for \(x\) was not simplified properly.
• (C) This is not a \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) special triangle.
• (D) There was no error made.

Question 2

\(x =\) <blank>\(\frac{10\sqrt{15}}{3}\)</blank>