Question

tâche 3 : laigle
marc, un ornithelogue, étudie la trajectoire dun aigle (son altitude) en fonction du temps. une radiogyrale
attachée à laigle permet de prendre différentes mesures. vous certaines données quil a recueillies lors
de la dernière envolée de laigle :
altitude de laigle en fonction du temps
la première section du graphique représente le moment où laigle a effectué une plongée au sol pour
attraper une proie (au temps 0 seconde). par la suite, il est remonté, puis il est resté stable en altitude
pendant quelques instants. finalement, il est retourné se poser au sol pour dévorer sa proie.
pendant combien de temps laigle a-t-il été à une altitude supérieure à 20 mètres lors de cette
envolée?
x : temps (sec)
y : altitude (mètre)

Explanation:

Step1: Analyser la première partie (plongée)

La première partie du graphique (avant \(t = 0\)) est symétrique avec la partie après \(t = 0\) (en remontant). Pour la première partie (plongée), l'aigle est à une altitude supérieure à \(20\) mètres de \(t=- 60\) à \(t = 0\). La durée est \(|0 - (-60)|=60\) secondes.

Step2: Analyser la partie de remontée

Après \(t = 0\), l'aigle remonte. La partie de remontée (jusqu'à \(t = 40\)) : on peut considérer que la fonction est symétrique avec la partie avant \(t = 0\) (plongée). L'aigle est à une altitude supérieure à \(20\) mètres de \(t = 0\) à \(t = 40\). La durée est \(40-0 = 40\) secondes.

Step3: Analyser la partie stable

De \(t = 40\) à \(t = 90\), l'aigle est à une altitude \(y = 90\) mètres (supérieure à \(20\) mètres). La durée est \(90 - 40=50\) secondes.

Step4: Analyser la partie de descente

Pour la partie de descente (de \(t = 90\) à \(t = 170\)), on calcule la durée où \(y>20\). La fonction de la descente est une droite. On peut utiliser la proportion. La droite va de \((90,90)\) à \((170,0)\). L'équation de la droite est \(y=-\frac{90}{80}(x - 90)+90=-\frac{9}{8}(x - 90)+90\). On cherche \(x\) tel que \(y = 20\). \(20=-\frac{9}{8}(x - 90)+90\). \(20-90=-\frac{9}{8}(x - 90)\). \(- 70=-\frac{9}{8}(x - 90)\). \(x-90=\frac{560}{9}\approx62.22\). \(x=90+\frac{560}{9}=\frac{810 + 560}{9}=\frac{1370}{9}\approx152.22\). La durée de la descente où \(y>20\) est \(152.22-90=\frac{560}{9}\approx62.22\) secondes.

Step5: Calculer la durée totale

La durée totale est \(60+40 + 50+\frac{560}{9}=\frac{540+360+450+560}{9}=\frac{1910}{9}\approx212.22\) secondes. Mais on peut aussi compter de manière graphique :

• De \(-60\) à \(0\) : \(60\) s
• De \(0\) à \(40\) : \(40\) s
• De \(40\) à \(90\) : \(50\) s
• Pour la descente : la droite de \(90\) à \(170\). La pente \(m=\frac{0 - 90}{170 - 90}=-\frac{9}{8}\). L'équation \(y-90=-\frac{9}{8}(x - 90)\). Quand \(y = 20\), \(20-90=-\frac{9}{8}(x - 90)\), \(x=90+\frac{70\times8}{9}=90+\frac{560}{9}\approx152.22\). La durée de la descente où \(y>20\) est \(152.22-90\approx62.22\). En sommant \(60 + 40+50+(152.22 - 90)=60+40+50 + 62.22=212.22\approx212\) secondes. Ou en utilisant la symétrie :

La partie avant \(t = 0\) (plongée) : \(60\) s
La partie de remontée : \(40\) s
La partie stable : \(50\) s
La partie de descente (où \(y>20\)) : on peut voir que de \(t = 90\) à \(t\approx152\) (\(62\) s). La durée totale est \(60+40+50+62 = 212\) secondes.

Answer:

\(212\) secondes