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Question
arlo, hao, eiji, korbin, and hank were discussing 0.\overline{57}. this is the script of their conversation.
| student | statement | agree or disagree? |
|---|---|---|
| hao: | no, arlo, it is rational, because 0.\overline{57} can be written as a fraction. | |
| eiji: | maybe haos correct, you know. because 0.\overline{57}=\frac{57}{100}. | |
| korbin: | hang on. the decimal for 0.\overline{57} would go on forever if you tried to write it. thats what the bar thing means, right? | |
| hank: | and because it goes on forever, that proves 0.\overline{57} has got to be irrational. |
a. in the right - hand column, write whether you agree or disagree with each students statement.
b. if you think 0.\overline{57} is rational, say what fraction it is and explain why.
if you think it is not rational, explain how you know.
student materials
classifying rational and irrational numbers
© 2015 mars, shell center, university of nottingham
Explicación:
Paso 1: Definir números racionales e irracionales
Un número racional se puede escribir como $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son enteros y $b
eq0$. Un número irracional no se puede escribir como una fracción de enteros y tiene un decimal no - periódico e infinito.
Paso 2: Convertir $0.\overline{57}$ a fracción
Sea $x = 0.\overline{57}=0.575757\cdots$. Entonces $100x=57.575757\cdots$. Restando $x$ de $100x$:
$100x - x=57.5757\cdots - 0.5757\cdots$
$99x = 57$
$x=\frac{57}{99}=\frac{19}{33}$
Paso 3: Analizar las declaraciones de los estudiantes
- Arlo dice que $0.\overline{57}$ es un número irracional. Esto es incorrecto porque $0.\overline{57}$ se puede escribir como una fracción.
- Hao dice que $0.\overline{57}$ es racional porque se puede escribir como una fracción. Esto es correcto.
- Eiji dice que $0.\overline{57}=\frac{57}{100}$, lo cual es incorrecto. $\frac{57}{100}=0.57$ (decimal no - periódico), mientras que $0.\overline{57}$ es periódico.
- Korbin dice que el decimal de $0.\overline{57}$ es infinito. Es cierto, pero un decimal periódico infinito es racional.
- Hank dice que porque es infinito es irracional. Esto es incorrecto, ya que los decimales periódicos infinitos son racionales.
a.
| Estudiante | Declaración | ¿Estoy de acuerdo o en desacuerdo? |
|---|---|---|
| Hao | No, Arlo, es racional, porque $0.\overline{57}$ se puede escribir como una fracción. | De acuerdo |
| Eiji | Quizás Hao tenga razón. Porque $0.\overline{57}=\frac{57}{100}$ | Desacuerdo |
| Korbin | Espera. El decimal de $0.\overline{57}$ sería infinito si intentaras escribirlo. Eso es lo que significa la barra, ¿verdad? | De acuerdo |
| Hank | Y porque es infinito, eso prueba que $0.\overline{57}$ debe ser irracional. | Desacuerdo |
b. $0.\overline{57}$ es un número racional. Como se mostró anteriormente, se puede convertir a la fracción $\frac{19}{33}$ siguiendo el método de restar múltiplos de $x$ para eliminar la parte decimal periódica. Un número que se puede expresar como una fracción de enteros con denominador distinto de cero es un número racional.
Respuesta:
a.
Arlo: Desacuerdo
Hao: De acuerdo
Eiji: Desacuerdo
Korbin: De acuerdo
Hank: Desacuerdo
b. $0.\overline{57}$ es racional y se puede escribir como $\frac{19}{33}$ ya que se puede convertir a fracción a través del método de restar múltiplos de la variable que representa el número decimal periódico.
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Explicación:
Paso 1: Definir números racionales e irracionales
Un número racional se puede escribir como $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son enteros y $b
eq0$. Un número irracional no se puede escribir como una fracción de enteros y tiene un decimal no - periódico e infinito.
Paso 2: Convertir $0.\overline{57}$ a fracción
Sea $x = 0.\overline{57}=0.575757\cdots$. Entonces $100x=57.575757\cdots$. Restando $x$ de $100x$:
$100x - x=57.5757\cdots - 0.5757\cdots$
$99x = 57$
$x=\frac{57}{99}=\frac{19}{33}$
Paso 3: Analizar las declaraciones de los estudiantes
- Arlo dice que $0.\overline{57}$ es un número irracional. Esto es incorrecto porque $0.\overline{57}$ se puede escribir como una fracción.
- Hao dice que $0.\overline{57}$ es racional porque se puede escribir como una fracción. Esto es correcto.
- Eiji dice que $0.\overline{57}=\frac{57}{100}$, lo cual es incorrecto. $\frac{57}{100}=0.57$ (decimal no - periódico), mientras que $0.\overline{57}$ es periódico.
- Korbin dice que el decimal de $0.\overline{57}$ es infinito. Es cierto, pero un decimal periódico infinito es racional.
- Hank dice que porque es infinito es irracional. Esto es incorrecto, ya que los decimales periódicos infinitos son racionales.
a.
| Estudiante | Declaración | ¿Estoy de acuerdo o en desacuerdo? |
|---|---|---|
| Hao | No, Arlo, es racional, porque $0.\overline{57}$ se puede escribir como una fracción. | De acuerdo |
| Eiji | Quizás Hao tenga razón. Porque $0.\overline{57}=\frac{57}{100}$ | Desacuerdo |
| Korbin | Espera. El decimal de $0.\overline{57}$ sería infinito si intentaras escribirlo. Eso es lo que significa la barra, ¿verdad? | De acuerdo |
| Hank | Y porque es infinito, eso prueba que $0.\overline{57}$ debe ser irracional. | Desacuerdo |
b. $0.\overline{57}$ es un número racional. Como se mostró anteriormente, se puede convertir a la fracción $\frac{19}{33}$ siguiendo el método de restar múltiplos de $x$ para eliminar la parte decimal periódica. Un número que se puede expresar como una fracción de enteros con denominador distinto de cero es un número racional.
Respuesta:
a.
Arlo: Desacuerdo
Hao: De acuerdo
Eiji: Desacuerdo
Korbin: De acuerdo
Hank: Desacuerdo
b. $0.\overline{57}$ es racional y se puede escribir como $\frac{19}{33}$ ya que se puede convertir a fracción a través del método de restar múltiplos de la variable que representa el número decimal periódico.